Напишите уравнение для касательной к графику функции у=-2(2х-13)/х-6 в точке с координатой х0=8

Для определения уравнения касательной к графику функции находим производную этой функции. Производная функции определяет наклон касательной в каждой точке графика.

Начнем с нахождения производной функции \(y=-2\frac{{2x-13}}{{x-6}}\). Применим правило производной для частного функций, известное как правило деления дифференциалов, и правило произведения функций, известное как правило произведения дифференциалов. Давайте подробно разберем это:

\[y=-2\frac{{2x-13}}{{x-6}}\]

Находим производную этой функции с помощью правила деления дифференциалов:

\[\frac{{dy}}{{dx}}=-2 \cdot \frac{{(x-6) \cdot \frac{{d}}{{dx}}(2x-13)-(2x-13) \cdot \frac{{d}}{{dx}}(x-6)}}{{(x-6)^2}}\]

Применяем правила произведения дифференциалов для \(\frac{{d}}{{dx}}(2x-13)\) и \(\frac{{d}}{{dx}}(x-6)\):

\[\frac{{dy}}{{dx}}=-2 \cdot \frac{{(x-6) \cdot 2-(2x-13) \cdot 1}}{{(x-6)^2}}\]

Упрощаем выражение:

\[\frac{{dy}}{{dx}}=-2 \cdot \frac{{2x-12-2x+13}}{{(x-6)^2}}\]

\[\frac{{dy}}{{dx}}=-2 \cdot \frac{{1}}{{(x-6)^2}}\]

Теперь мы имеем производную функции:

\[\frac{{dy}}{{dx}}=-2 \cdot \frac{{1}}{{(x-6)^2}}\]

Чтобы найти наклон касательной в точке \(x_0=8\), подставим \(x=8\) в выражение для производной:

\[\frac{{dy}}{{dx}} \Bigr|_{x=8}=-2 \cdot \frac{{1}}{{(8-6)^2}}\]

\[\frac{{dy}}{{dx}} \Bigr|_{x=8}=-2 \cdot \frac{{1}}{{2^2}}\]

\[\frac{{dy}}{{dx}} \Bigr|_{x=8}=-2 \cdot \frac{{1}}{{4}}\]

\[\frac{{dy}}{{dx}} \Bigr|_{x=8}=-\frac{{1}}{{2}}\]

Таким образом, наклон касательной в точке \(x_0=8\) равен \(-\frac{{1}}{{2}}\).

Используя найденный наклон и заданную точку \((x_0, y_0) = (8, -2\frac{{2 \cdot 8-13}}{{8-6}})\), можем записать уравнение касательной в точке \(x_0=8\) в виде:

\[y-y_0 = m(x-x_0)\]

где \(m\) - наклон касательной, а \(x_0, y_0\) - координаты точки, через которую проходит касательная.

Подставив известные значения, получим:

\[y - (-2\frac{{2 \cdot 8-13}}{{8-6}}) = -\frac{{1}}{{2}}(x-8)\]

\[y + 4 = -\frac{{1}}{{2}}(x-8)\]

\[y = -\frac{{1}}{{2}}(x-8) -4\]

\[y = -\frac{{1}}{{2}}x + 6\]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции \(y=-2\frac{{2x-13}}{{x-6}}\) в точке с координатой \(x_0=8\) равно \(y = -\frac{{1}}{{2}}x + 6\).