А) Найдите значения переменной х, при которых 4 ctg 2х + ctg^2 2x — 5 – 0. б) Определите все значения корней уравнения

Хорошо, давайте решим данную задачу шаг за шагом, чтобы ответ был понятен.

а) У нас дано уравнение \(4 \, \text{ctg} \, 2x + \text{ctg}^2 2x - 5 = 0\).
Для удобства введем замену: пусть \(y = \text{ctg} \, 2x\).
Тогда уравнение можно переписать в виде: \(4y + y^2 - 5 = 0\).

Теперь решим квадратное уравнение \(y^2 + 4y - 5 = 0\).
Применим квадратное уравнение \(D = b^2 - 4ac\) и найдем дискриминант:
\(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\).

Так как дискриминант больше нуля, у нас есть два корня.
Используем формулу корней квадратного уравнения:
\(y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\) и \(y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\).
Подставим значения:
\(y_1 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 - 6}{2} = -5\) и
\(y_2 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 + 6}{2} = 1\).

Теперь найдем значения переменной \(x\).
Используем замену \(y = \text{ctg} \, 2x\) и подставим значения \(y_1\) и \(y_2\):
1) Для \(y_1 = -5\):
\(\text{ctg} \, 2x = -5\).
Находим аргумент \(2x\) с помощью обратной функции \(y = \text{ctg}^{-1} (-5)\).
Получаем: \(2x = \text{ctg}^{-1} (-5)\).
Решаем это уравнение и находим \(x\).

2) Для \(y_2 = 1\):
\(\text{ctg} \, 2x = 1\).
Находим аргумент \(2x\) с помощью обратной функции \(y = \text{ctg}^{-1} (1)\).
Получаем: \(2x = \text{ctg}^{-1} (1)\).
Решаем это уравнение и находим \(x\).

На выходе получим значения переменной \(x\), при которых уравнение \(4 \, \text{ctg} \, 2x + \text{ctg}^2 2x - 5 = 0\) выполняется.

б) Мы должны определить все значения корней уравнения, которые принадлежат интервалу \([-π;0]\).
Для этого надо подставить найденные значения переменной \(x\) из предыдущего пункта в уравнение и проверить,
лежат ли они в данном интервале.