На яку висоту підійде кулька, якщо її кинути вертикально вгору з початковою швидкістю 8 м/с?

Чтобы найти высоту, на которую поднимется шарик при вертикальном броске вверх с начальной скоростью 8 м/с, мы можем воспользоваться законом сохранения механической энергии.

Механическая энергия в системе (состоящей из земли и шарика) остается постоянной (т.е. не меняется), если не учитывать потери на трение и сопротивление воздуха, которые в данной задаче пренебрежимо малы.

Начальная механическая энергия \( E_{\text{нач}} \) шарика состоит из его кинетической энергии (связанной с его скоростью) и потенциальной энергии, связанной с его высотой над землей:

\[ E_{\text{нач}} = K_{\text{нач}} + U_{\text{нач}} \]

где
\( K_{\text{нач}} \) - начальная кинетическая энергия,
\( U_{\text{нач}} \) - начальная потенциальная энергия.

Кинетическая энергия шара описывается формулой:

\[ K_{\text{нач}} = \frac{1}{2} m v_{\text{нач}}^2 \]

где
\( m \) - масса шара,
\( v_{\text{нач}} \) - начальная скорость шара.

В данной задаче масса шара неизвестна, но она не влияет на высоту, на которую шар поднимется, поэтому мы можем пренебречь ею.

Потенциальная энергия шарика описывается формулой:

\[ U_{\text{нач}} = m g h_{\text{нач}} \]

где
\( g \) - ускорение свободного падения,
\( h_{\text{нач}} \) - начальная высота шара.

Так как шарик бросается вертикально вверх, его начальная скорость равна 8 м/с, а начальная высота равна 0 м (так как шарик находится на уровне земли). Таким образом, начальная механическая энергия может быть записана как:

\[ E_{\text{нач}} = \frac{1}{2} m v_{\text{нач}}^2 + m g h_{\text{нач}} \]

Теперь рассмотрим положение шарика на некоторой высоте \( h \). На этой высоте его скорость будет равна 0 м/с, так как шарик достигнет самой высокой точки своего движения и начнет падать. Поэтому его механическая энергия только потенциальная и равна:

\[ E = U = m g h \]

Так как закон сохранения энергии гласит, что начальная механическая энергия равна конечной механической энергии, мы можем записать:

\[ E_{\text{нач}} = E \]

\[ \frac{1}{2} m v_{\text{нач}}^2 + m g h_{\text{нач}} = m g h \]

Рассмотрим эту формулу поближе и выразим высоту \( h \), на которую поднимется шарик:

\[ \frac{1}{2} v_{\text{нач}}^2 + g h_{\text{нач}} = g h \]

\[ \frac{1}{2} v_{\text{нач}}^2 + g h_{\text{нач}} - g h = 0 \]

\[ h = \frac{v_{\text{нач}}^2}{2g} + h_{\text{нач}} \]

Подставим известные значения:

\( v_{\text{нач}} = 8 \, \text{м/с} \)
\( g = 9,8 \, \text{м/с}^2 \)
\( h_{\text{нач}} = 0 \, \text{м} \)

\[ h = \frac{8^2}{2 \times 9,8} + 0 \]

Выполняем вычисления:

\[ h = \frac{64}{19.6} \]

\[ h \approx 3.27 \, \text{м} \]

Таким образом, шарик поднимется на высоту около 3.27 метров.