На яку висоту підійде кулька, якщо її кинути вертикально вгору з початковою швидкістю 8 м/с?

Чтобы найти высоту, на которую поднимется шарик при вертикальном броске вверх с начальной скоростью 8 м/с, мы можем воспользоваться законом сохранения механической энергии.

Механическая энергия в системе (состоящей из земли и шарика) остается постоянной (т.е. не меняется), если не учитывать потери на трение и сопротивление воздуха, которые в данной задаче пренебрежимо малы.

Начальная механическая энергия $E_{\text{нач}}$ шарика состоит из его кинетической энергии (связанной с его скоростью) и потенциальной энергии, связанной с его высотой над землей:

$$E_{\text{нач}}=K_{\text{нач}}+U_{\text{нач}}$$

где
$K_{\text{нач}}$ - начальная кинетическая энергия,
$U_{\text{нач}}$ - начальная потенциальная энергия.

Кинетическая энергия шара описывается формулой:

$$K_{\text{нач}}=\frac{1}{2}m{v}_{\text{нач}}^2$$

где
$m$ - масса шара,
$v_{\text{нач}}$ - начальная скорость шара.

В данной задаче масса шара неизвестна, но она не влияет на высоту, на которую шар поднимется, поэтому мы можем пренебречь ею.

Потенциальная энергия шарика описывается формулой:

$$U_{\text{нач}}=mg{h}_{\text{нач}}$$

где
$g$ - ускорение свободного падения,
$h_{\text{нач}}$ - начальная высота шара.

Так как шарик бросается вертикально вверх, его начальная скорость равна 8 м/с, а начальная высота равна 0 м (так как шарик находится на уровне земли). Таким образом, начальная механическая энергия может быть записана как:

$$E_{\text{нач}}=\frac{1}{2}m{v}_{\text{нач}}^2+mg{h}_{\text{нач}}$$

Теперь рассмотрим положение шарика на некоторой высоте $h$. На этой высоте его скорость будет равна 0 м/с, так как шарик достигнет самой высокой точки своего движения и начнет падать. Поэтому его механическая энергия только потенциальная и равна:

$$E=U=mgh$$

Так как закон сохранения энергии гласит, что начальная механическая энергия равна конечной механической энергии, мы можем записать:

$$E_{\text{нач}}=E$$

$$\frac{1}{2}m{v}_{\text{нач}}^2+mg{h}_{\text{нач}}=mgh$$

Рассмотрим эту формулу поближе и выразим высоту $h$, на которую поднимется шарик:

$$\frac{1}{2}{v}_{\text{нач}}^2+g{h}_{\text{нач}}=gh$$

$$\frac{1}{2}{v}_{\text{нач}}^2+g{h}_{\text{нач}}-gh=0$$

$$h=\frac{v_{\text{нач}}^2}{2g}+h_{\text{нач}}$$

Подставим известные значения:

$v_{\text{нач}}=8\text{м/с}$
$g=9,8{\text{м/с}}^2$
$h_{\text{нач}}=0\text{м}$

$$h=\frac{8^2}{2\times 9,8}+0$$

Выполняем вычисления:

$$h=\frac{64}{19.6}$$

$$h\approx 3.27\text{м}$$

Таким образом, шарик поднимется на высоту около 3.27 метров.