На якій висоті над поверхнею Землі сила тяжіння, що впливає на об єкт, стає чотири рази меншою?

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знание о законе всемирного тяготения, который устанавливает зависимость силы тяготения от расстояния между объектами.

В соответствии с законом всемирного тяготения, сила тяготения \( F \) между двумя объектами пропорциональна произведению их масс \( m_1 \) и \( m_2 \) и обратно пропорциональна квадрату расстояния \( r \) между ними:

\[ F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}} \]

Где \( G \) - гравитационная постоянная.

В данной задаче сила тяжести уменьшается в 4 раза, то есть становится 4 раза меньше оригинальной силы. Пусть изначальная высота над поверхностью Земли равна \( h_1 \), а сила тяготения на этой высоте равна \( F_1 \). Затем, когда объект поднимается на новую высоту \( h_2 \), сила тяготения становится \( F_2 \), которая в 4 раза меньше \( F_1 \).

Мы можем использовать это знание, чтобы написать следующие уравнения:

\[ F_1 = \frac{{G \cdot m \cdot M}}{{(R + h_1)^2}} \]
\[ F_2 = \frac{{G \cdot m \cdot M}}{{(R + h_2)^2}} \]

Где:
\( m \) - масса объекта,
\( M \) - масса Земли,
\( R \) - радиус Земли.

Теперь мы можем записать отношение между \( F_2 \) и \( F_1 \):

\[ \frac{{F_2}}{{F_1}} = \frac{{\frac{{G \cdot m \cdot M}}{{(R + h_2)^2}}}}{{\frac{{G \cdot m \cdot M}}{{(R + h_1)^2}}}} \]

Упростим это выражение, деля все на \( G \cdot m \cdot M \):

\[ \frac{{F_2}}{{F_1}} = \frac{{(R + h_1)^2}}{{(R + h_2)^2}} \]

Теперь мы можем решить это уравнение, используя известные значения. Пусть \( F_2 = \frac{{F_1}}{{4}} \), поскольку сила тяжести становится 4 раза меньше. Заменим значения в уравнении:

\[ \frac{{\frac{{F_1}}{{4}}}}{{F_1}} = \frac{{(R + h_1)^2}}{{(R + h_2)^2}} \]

Упростим это уравнение:

\[ \frac{{1}}{{4}} = \frac{{(R + h_1)^2}}{{(R + h_2)^2}} \]

Умножим обе части уравнения на \( 4 \):

\[ 1 = 4 \cdot \frac{{(R + h_1)^2}}{{(R + h_2)^2}} \]

Распишем квадраты:

\[ 1 = 4 \cdot \left(\frac{{R + h_1}}{{R + h_2}}\right)^2 \]

Избавимся от множителя 4:

\[ \frac{{1}}{{4}} = \left(\frac{{R + h_1}}{{R + h_2}}\right)^2 \]

Возьмем квадратный корень от обеих частей:

\[ \frac{{1}}{{2}} = \frac{{R + h_1}}{{R + h_2}} \]

Теперь решим это уравнение относительно \( h_2 \):

\[ 2 \cdot (R + h_1) = R + h_2 \]

Раскроем скобки:

\[ 2R + 2h_1 = R + h_2 \]

Упростим:

\[ R + 2h_1 = h_2 \]

Отсюда следует, что высота над поверхностью Земли, на которой сила тяжести становится в 4 раза меньше, равна \( R + 2h_1 \).

Для школьников будет полезно иметь выполненный шаг за шагом решение задачи, где все вычисления включены.