На якій висоті над поверхнею Землі, що дорівнює трьом земним радіусам, потрібно визначити прискорення вільного падіння?

Для решения данной задачи нам потребуется некоторое количество информации о физическом законе влияния гравитации на тела, а именно Землю, а также о геометрических параметрах.

Сила тяжести на тело в свободном падении направлена вниз и обусловлена притяжением Земли. Зависимость силы тяжести от высоты над поверхностью Земли описывается законом всемирного тяготения, согласно которому сила тяжести пропорциональна инверсии квадрата расстояния от центра Земли до тела.

Таким образом, выразим зависимость силы тяжести \(F\) от расстояния \(h\) от центра Земли до тела:

\[F = \frac{{G \cdot m \cdot M}}{{h^2}}\]

где \(G\) - гравитационная постоянная, \(m\) - масса тела, \(M\) - масса Земли.

В данной задаче интересует прискорение свободного падения, которое определяется как отношение силы тяжести к массе падающего тела:

\[a = \frac{F}{m}\]

Так как мы рассматриваем свободное падение, в котором сила веса и прискорение равны, можно записать:

\[a = g = \frac{{G \cdot M}}{{h^2}}\]

Теперь мы можем получить значение прискорения свободного падения в выражении, связанном с высотой над поверхностью Земли. Для этого подставим \(h = 3R\), где \(R\) - радиус Земли:

\[a = g = \frac{{G \cdot M}}{{(3R)^2}}\]

Далее, чтобы получить числовое значение прискорения, мы должны знать конкретные численные значения гравитационной постоянной \(G\) и массы Земли \(M\). Значение гравитационной постоянной равно приблизительно \(6.67430 \times 10^{-11} \, \frac{{\text{м}^3}}{{\text{кг} \cdot \text{с}^2}}\), а масса Земли составляет приблизительно \(5.97219 \times 10^{24} \, \text{кг}\).

Подставив эти значения в формулу, мы можем рассчитать прискорение свободного падения:

\[a = g = \frac{{6.67430 \times 10^{-11} \, \frac{{\text{м}^3}}{{\text{кг} \cdot \text{с}^2}} \cdot 5.97219 \times 10^{24} \, \text{кг}}}{{(3 \cdot 6.371 \times 10^{6} \, \text{м})^2}}\]

После выполнения всех расчетов мы получим значение прискорения свободного падения на высоте, равной трём земным радиусам.