На стороні cd паралелограма abcd взяли точку K так, що BK=3, CK=2, і точка E є серединою сторони cd. Якщо відомо

Для розв"язання цієї задачі нам знадобиться використання властивостей паралелограма та трикутника. Давайте подивимося на схему для кращого розуміння:

\[AK = 7, BK = 3, CK = 2, \angle AKE = 70^\circ\]

З точки \(K\) опустимо перпендикуляри \(KH\) та \(KL\) на сторони \(AB\) та \(AD\), відповідно. Також, оскільки точка \(E\) є серединою сторони \(CD\), то \(KE\) буде рівна \(DE\).

Оскільки \(E\) - середина сторони та \(KE = DE\), маємо:

\[KE = DE = \frac{CD}{2}\]

\[KE = \frac{BC}{2}\]

\[KE = \frac{BK+CK}{2} = \frac{3+2}{2} = 2.5\]

Також, так як \(\angle AKE = 70^\circ\), то \(\angle EKH = 70^\circ\) (бо \(KH\) - висота трикутника).

Оскільки \(KH\) - висота, то трикутник \(KEH\) прямокутний.

Отже, можемо знайти \(EH = KE \cdot \sin(70^\circ)\):

\[EH = 2.5 \cdot \sin(70^\circ) \approx 2.37\]

Тепер, оскільки \(E\) - середина сторони \(CD\) та \(HL\) - висота, можемо записати:

\[HL = 2 \cdot EH = 4.74\]

Тепер ми знаємо довжину сторін трикутника \(AKH\), та можемо використати теорему косинусів для знаходження кута \(\angle AKH\):

\[\cos(\angle AKH) = \frac{AH^2 + AK^2 - KH^2}{2 \cdot AH \cdot AK}\]

Підставивши відомі дані, отримаємо:

\[\cos(\angle AKH) = \frac{4^2 + 7^2 - 4.74^2}{2 \cdot 4 \cdot 7} \approx 0.417\]

Звідси отримуємо \(\angle AKH \approx \cos^{-1}(0.417) \approx 63.7^\circ\)

Отже, можемо знайти \(\angle AKB\):

\[\angle AKB = 180^\circ - \angle AKH \approx 180^\circ - 63.7^\circ = 116.3^\circ\]

Отже, \(\angle AKB \approx 116.3^\circ\).