На сколько увеличится площадь боковой поверхности конуса вращения, если его образующая увеличится в 9 раз и радиус

Чтобы найти изменение площади боковой поверхности конуса вращения, мы должны сначала выразить площадь боковой поверхности в терминах основания и образующей конуса. Площадь боковой поверхности конуса может быть вычислена с использованием следующей формулы:

\[S = \pi \cdot r \cdot l\]

где \(S\) - площадь боковой поверхности, \(\pi\) - число Пи, \(r\) - радиус основания конуса, а \(l\) - образующая конуса.

В данной задаче, площадь боковой поверхности изначального конуса обозначим за \(S_1\), а площадь боковой поверхности измененного конуса - за \(S_2\).

Из условия задачи известно, что образующая конуса увеличилась в 9 раз, т.е. \(l_2 = 9 \cdot l_1\), и радиус основания уменьшился в 3 раза, т.е. \(r_2 = \frac{1}{3} \cdot r_1\).

Теперь мы можем записать формулы для \(S_1\) и \(S_2\):

\[S_1 = \pi \cdot r_1 \cdot l_1\]
\[S_2 = \pi \cdot r_2 \cdot l_2\]

Подставим значения \(r_2\) и \(l_2\) в формулу для \(S_2\):

\[S_2 = \pi \cdot (\frac{1}{3} \cdot r_1) \cdot (9 \cdot l_1)\]

Раскроем скобки:

\[S_2 = \pi \cdot (\frac{1}{3} \cdot 9 \cdot r_1 \cdot l_1)\]

Упростим выражение:

\[S_2 = \pi \cdot 3 \cdot r_1 \cdot (l_1 \cdot 3)\]

\[S_2 = 9 \pi \cdot r_1 \cdot l_1\]

Таким образом, получаем, что площадь боковой поверхности измененного конуса \(S_2\) равна в 9 раз больше, чем площадь боковой поверхности изначального конуса \(S_1\).

Полученный результат можно объяснить так: при увеличении образующей в 9 раз и уменьшении радиуса основания в 3 раза, боковая поверхность конуса расширяется в 9 раз, сохраняя свою форму.

Надеюсь, что это пошаговое решение помогло вам понять задачу о площади боковой поверхности конуса вращения при изменении его параметров. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать!