На сколько способов Валерий может выбрать 2 конфеты и 2 мандарина, если на тарелке имеется 22 конфеты и 7 мандаринов?

Чтобы решить данную задачу, мы можем воспользоваться комбинаторикой, а именно формулой сочетаний. Формула сочетаний для выбора \(k\) элементов из множества из \(n\) элементов выглядит следующим образом:

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Где \(n!\) обозначает факториал числа \(n\), то есть произведение всех целых чисел от 1 до \(n\).

В данной задаче, у нас есть 22 конфеты и 7 мандаринов на тарелке, и мы хотим выбрать 2 конфеты и 2 мандарина. Таким образом, мы можем применить формулу сочетаний.

Для выбора 2 конфет из 22 доступных конфет, мы использовалиб формулу сочетаний следующим образом:

\[\binom{22}{2} = \frac{22!}{2!(22-2)!} = \frac{22!}{2!20!} = \frac{22 \cdot 21}{2 \cdot 1} = 22 \cdot 21 = 462\]

Теперь для выбора 2 мандарин из 7 доступных мандаринов, мы снова можем применить формулу сочетаний:

\[\binom{7}{2} = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 7 \cdot 3 = 21\]

Так как выбор конфет и мандарин независимы друг от друга, чтобы узнать количество способов выбрать 2 конфеты и 2 мандарина, мы можем просто перемножить количество способов выбрать 2 конфеты и количество способов выбрать 2 мандарина:

\[462 \cdot 21 = 9702\]

Таким образом, Валерий может выбрать 2 конфеты и 2 мандарина из имеющихся 22 конфет и 7 мандаринов на тарелке на 9702 различных способа.