На сколько способов можно выразить число -55 как произведение трех разных целых множителей? При этом считаются

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо разложить число -55 на произведение трех разных целых множителей и посчитать все возможные комбинации.

Для начала, заметим, что любое число вида \(n \cdot 1 \cdot 1\) также является произведением трех разных целых множителей, где один из множителей равен 1. В нашем случае, число -55 можно представить как \((-1) \cdot 5 \cdot 11\).

Теперь рассмотрим все возможные разложения числа -55 на произведение двух разных целых множителей: \(n \cdot a \cdot b\), где \(a\) и \(b\) являются различными множителями, а \(n\) — это произведение самих множителей \(a\) и \(b\). Заметим, что если мы найдем такое разложение, где либо \(a\) или \(b\) равно 1, то число -55 будет уже выражено как произведение трех разных целых множителей.

Теперь разложим число -55 на произведение двух разных целых множителей:
\[
\begin{align*}
-55 &= (-1) \cdot 55 = (-1) \cdot 5 \cdot 11\\
&= 1 \cdot (-55) = 1 \cdot (-5) \cdot (-11)
\end{align*}
\]

Мы нашли два различных разложения числа -55 на произведение двух разных целых множителей. Теперь остается посмотреть, можно ли выразить число -55 таким образом, что все три множителя различны.

Рассмотрим разложение \((-1) \cdot 5 \cdot 11\), найдем равносильные ему разложения, переставляя числа местами:

\[
\begin{align*}
(-1) \cdot 5 \cdot 11 &= 5 \cdot (-1) \cdot 11 = 11 \cdot (-1) \cdot 5\\
5 \cdot (-1) \cdot 11 &= 5 \cdot 11 \cdot (-1) = (-1) \cdot 11 \cdot 5\\
11 \cdot (-1) \cdot 5 &= 11 \cdot 5 \cdot (-1) = 5 \cdot (-1) \cdot 11\\
5 \cdot 11 \cdot (-1) &= 5 \cdot (-1) \cdot 11 = (-1) \cdot 5 \cdot 11\\
(-1) \cdot 11 \cdot 5 &= (-1) \cdot 5 \cdot 11 = 5 \cdot 11 \cdot (-1)
\end{align*}
\]

Мы получили пять равносильных разложений числа -55 на произведение трех разных целых множителей.

Итак, мы нашли следующие разложения числа -55 как произведение трех разных целых множителей:
\[
\begin{align*}
(-1) \cdot 5 \cdot 11\\
(-1) \cdot 11 \cdot 5\\
5 \cdot (-1) \cdot 11\\
5 \cdot 11 \cdot (-1)\\
11 \cdot (-1) \cdot 5
\end{align*}
\]

Ответ: число -55 можно выразить как произведение трех разных целых множителей пятью различными способами.