На сколько секунд ускорение частицы станет перпендикулярным оси x, если частица движется с заданным законом r→(t

Для начала нам необходимо вычислить производные по времени от векторного закона движения \( r(t) \). Затем найдем ускорение частицы и определим момент времени, когда ускорение становится перпендикулярным оси \( x \).

Итак, начнем с вычисления производных по времени:

\[
\frac{{dr}}{{dt}} = \left[ \frac{{d}}{{dt}} (A(t/\tau)^3 - B(t/\tau)^4) \right] \mathbf{i} + \left[ \frac{{d}}{{dt}} (A \cos(\omega t)) \right] \mathbf{j} + \left[ \frac{{d}}{{dt}} (B(t/\tau)^3) \right] \mathbf{k}
\]

Вычислим каждую производную по отдельности:

\[
\frac{{d}}{{dt}} (A(t/\tau)^3 - B(t/\tau)^4) = A \cdot 3(t/\tau)^2 \cdot \frac{{d}}{{dt}}(t/\tau) - B \cdot 4(t/\tau)^3 \cdot \frac{{d}}{{dt}}(t/\tau)
\]

Учитывая, что \( \frac{{d}}{{dt}}(t/\tau) = \frac{1}{\tau} \), получаем:

\[
\frac{{d}}{{dt}} (A(t/\tau)^3 - B(t/\tau)^4) = A \cdot 3 \cdot (t/\tau)^2 \cdot \frac{1}{\tau} - B \cdot 4 \cdot (t/\tau)^3 \cdot \frac{1}{\tau}
\]

Далее продолжаем вычисление других производных:

\[
\frac{{d}}{{dt}} (A \cos(\omega t)) = -A \omega \sin(\omega t)
\]

\[
\frac{{d}}{{dt}} (B(t/\tau)^3) = B \cdot 3(t/\tau)^2 \cdot \frac{{d}}{{dt}}(t/\tau) = B \cdot 3 \cdot (t/\tau)^2 \cdot \frac{1}{\tau}
\]

Теперь мы можем записать выражение для скорости:

\[
\mathbf{v} = \frac{{dr}}{{dt}} = \left[ A \cdot 3 \cdot (t/\tau)^2 \cdot \frac{1}{\tau} - B \cdot 4 \cdot (t/\tau)^3 \cdot \frac{1}{\tau} \right] \mathbf{i} + \left[ -A \omega \sin(\omega t) \right] \mathbf{j} + \left[ B \cdot 3 \cdot (t/\tau)^2 \cdot \frac{1}{\tau} \right] \mathbf{k}
\]

Теперь найдем ускорение:

\[
\mathbf{a} = \frac{{d\mathbf{v}}}{{dt}} = \left[ \frac{{d}}{{dt}} \left( A \cdot 3 \cdot (t/\tau)^2 \cdot \frac{1}{\tau} - B \cdot 4 \cdot (t/\tau)^3 \cdot \frac{1}{\tau} \right) \right] \mathbf{i} + \left[ \frac{{d}}{{dt}} (-A \omega \sin(\omega t)) \right] \mathbf{j} + \left[ \frac{{d}}{{dt}} \left( B \cdot 3 \cdot (t/\tau)^2 \cdot \frac{1}{\tau} \right) \right] \mathbf{k}
\]

Вычислим каждую производную по отдельности:

\[
\frac{{d}}{{dt}} \left( A \cdot 3 \cdot (t/\tau)^2 \cdot \frac{1}{\tau} - B \cdot 4 \cdot (t/\tau)^3 \cdot \frac{1}{\tau} \right) = A \cdot 3 \cdot 2 \cdot (t/\tau) \cdot \frac{1}{\tau} - B \cdot 4 \cdot 3 \cdot (t/\tau)^2 \cdot \frac{1}{\tau}
\]

\[
\frac{{d}}{{dt}} (-A \omega \sin(\omega t)) = -A \omega^2 \cos(\omega t)
\]

\[
\frac{{d}}{{dt}} \left( B \cdot 3 \cdot (t/\tau)^2 \cdot \frac{1}{\tau} \right) = B \cdot 3 \cdot 2 \cdot (t/\tau) \cdot \frac{1}{\tau}
\]

Итак, ускорение частицы:

\[
\mathbf{a} = \left[ A \cdot 3 \cdot 2 \cdot (t/\tau) \cdot \frac{1}{\tau} - B \cdot 4 \cdot 3 \cdot (t/\tau)^2 \cdot \frac{1}{\tau} \right] \mathbf{i} + \left[ -A \omega^2 \cos(\omega t) \right] \mathbf{j} + \left[ B \cdot 3 \cdot 2 \cdot (t/\tau) \cdot \frac{1}{\tau} \right] \mathbf{k}
\]

Для ускорения становится перпендикулярным оси \( x \), необходимо, чтобы его проекция на ось \( x \) равнялась нулю. Это происходит в тот момент времени, когда коэффициент при \( \mathbf{i} \) равен нулю:

\[
A \cdot 3 \cdot 2 \cdot (t/\tau) \cdot \frac{1}{\tau} - B \cdot 4 \cdot 3 \cdot (t/\tau)^2 \cdot \frac{1}{\tau} = 0
\]

Упростим это уравнение:

\[
6 \cdot A \cdot \frac{t}{\tau} - 12 \cdot B \cdot \frac{t^2}{\tau^2} = 0
\]

\[
2 \cdot A \cdot \frac{t}{\tau} - 4 \cdot B \cdot \frac{t^2}{\tau^2} = 0
\]

Поделим обе части на \( t \):

\[
2 \cdot A \cdot \frac{1}{\tau} - 4 \cdot B \cdot \frac{t}{\tau^2} = 0
\]

Теперь решим это уравнение относительно \( t \):

\[
4 \cdot B \cdot \frac{t}{\tau^2} = 2 \cdot A \cdot \frac{1}{\tau}
\]

\[
t = \frac{2A}{4B} \cdot \tau
\]

Подставим значения \( A = 2 \) м, \( B = 3 \) м и \( \tau = 1 \) с:

\[
t = \frac{2 \cdot 2}{4 \cdot 3} \cdot 1 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \approx 0,333 \, \text{с}
\]

Таким образом, ускорение частицы станет перпендикулярным оси \( x \) через примерно 0,333 с.

Ответ: д) 0,333 с.