На сколько раз увеличится значение ускорения свободного падения на поверхности Меркурия, если масса увеличится

Для решения этой задачи мы можем использовать закон всемирного тяготения и формулу для ускорения свободного падения.

Закон всемирного тяготения утверждает, что сила гравитации между двумя объектами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Формула для этой силы выглядит следующим образом:

\[F = G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

где F - сила гравитации, G - гравитационная постоянная, \(m_1\) и \(m_2\) - массы двух объектов, а \(r\) - расстояние между ними.

Ускорение свободного падения определяется как сила гравитации, действующая на объект массой 1 килограмм. Если мы обозначим \(g_1\) - ускорение свободного падения на поверхности Земли, \(F_1\) - сила гравитации на объект массой 1 кг на Земле, \(m_2\) - масса объекта на Меркурии, а \(g_2\) - ускорение свободного падения на Меркурии, то у нас есть следующее соотношение:

\[F_1 = m_1 \cdot g_1\]
\[F_2 = m_2 \cdot g_2\]

Согласно условию задачи, масса объекта на Меркурии увеличивается в 2,6 раза при неизменном диаметре. Мы можем записать это следующим образом:

\[m_2 = m_1 \cdot 2,6\]

Подставим это значение во второе уравнение:

\[F_2 = (m_1 \cdot 2,6) \cdot g_2\]

Также мы знаем, что ускорение свободного падения на Меркурии составляет 3,7 м/с². То есть \(g_2 = 3,7\).

Теперь можем сравнить две силы гравитации:

\[F_1 = m_1 \cdot g_1\]
\[F_2 = (m_1 \cdot 2,6) \cdot g_2\]

Поскольку наши объекты одинаковы по форме и размеру, расстояние между ними не меняется, а значит гравитационная постоянная \(G\) остаётся неизменной.

Мы можем разделить уравнения, чтобы найти соотношение ускорений:

\[\frac{{F_2}}{{F_1}} = \frac{{m_1 \cdot 2,6 \cdot g_2}}{{m_1 \cdot g_1}}\]

Масса объекта сократится, и останется только соотношение ускорений:

\[\frac{{F_2}}{{F_1}} = \frac{{2,6 \cdot g_2}}{{g_1}}\]

Подставим числовые значения \(g_2 = 3,7\) и \(g_1 = 9,8\) (ускорение свободного падения на Земле), и вычислим данное соотношение:

\[\frac{{F_2}}{{F_1}} = \frac{{2,6 \cdot 3,7}}{{9,8}}\]

Выполнив вычисления, получаем:

\[\frac{{F_2}}{{F_1}} \approx 0,9837\]

Таким образом, значение ускорения свободного падения на поверхности Меркурия увеличится примерно на 0,9837 раза при увеличении массы в 2,6 раза, при условии, что диаметр остается неизменным.