На сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды при увеличении всех ее ребер в 45 раз?

Для решения данной задачи нам потребуется знание формулы для площади поверхности пирамиды. Площадь поверхности пирамиды складывается из площади основания и площадей боковых поверхностей. Поэтому, для того чтобы найти площадь поверхности пирамиды, нам необходимо знать площадь основания и высоту пирамиды.

Предположим, что исходная площадь поверхности пирамиды равна \( S_1 \), а длина каждого ребра равна \( a_1 \).
Тогда площадь поверхности пирамиды после того, как все ее ребра увеличены в 45 раз, будет равна \( S_2 \), а длина каждого ребра будет равна \( a_2 \).

Для начала, соотношение площади поверхности пирамиды и длины ребра можно записать следующим образом:

\[ \frac{S_1}{a_1^2} = \frac{S_2}{a_2^2} \]

Так как говорится, что все ребра увеличены в 45 раз, то получим:

\[ a_2 = 45 \cdot a_1 \]

Теперь мы можем подставить это значение в наше уравнение:

\[ \frac{S_1}{a_1^2} = \frac{S_2}{(45 \cdot a_1)^2} \]

Далее упростим это выражение:

\[ \frac{S_1}{a_1^2} = \frac{S_2}{2025 \cdot a_1^2} \]

Теперь, чтобы узнать, на сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, нам необходимо найти отношение новой площади поверхности \( S_2 \) к исходной площади поверхности \( S_1 \):

\[ \frac{S_2}{S_1} = \frac{2025 \cdot a_1^2}{a_1^2} \]

Упрощая это выражение, получаем:

\[ \frac{S_2}{S_1} = 2025 \]

Таким образом, площадь поверхности пирамиды увеличится в 2025 раз.

Итак, ответ на задачу: площадь поверхности пирамиды увеличится в 2025 раз при увеличении всех ее ребер в 45 раз.