На сколько процентов сократится площадь и периметр прямоугольника, если его длину уменьшить на 30%, а ширину - на 40%?

Хорошо, давайте решим данную задачу.

Пусть изначальная длина прямоугольника равна \(L\) и ширина равна \(W\). Согласно условию задачи, мы уменьшаем длину на 30% и ширину на 40%.

Уменьшение на 30% означает, что новая длина будет равна \(0.7L\) (так как 30% равно 0.3, и уменьшение на 30% эквивалентно умножению на 0.7).

Уменьшение на 40% означает, что новая ширина будет равна \(0.6W\) (так как 40% равно 0.4, и уменьшение на 40% эквивалентно умножению на 0.6).

Теперь найдем площадь прямоугольника. Исходно она равна \(L \cdot W\), а после уменьшения сторон она будет равна \((0.7L) \cdot (0.6W)\). Мы можем выразить это в процентах, сравнивая новую и исходную площадь:

\[
\text{процент уменьшения площади} = \left(1 - \frac{{(0.7L) \cdot (0.6W)}}{{LW}}\right) \cdot 100\%
\]

Давайте теперь упростим выражение. Разложим числитель в скобках:

\[
(0.7L) \cdot (0.6W) = 0.42LW
\]

Теперь мы можем записать процент уменьшения площади следующим образом:

\[
\text{процент уменьшения площади} = \left(1 - \frac{{0.42LW}}{{LW}}\right) \cdot 100\%
\]

Сокращая \(LW\) в числителе и знаменателе, получим:

\[
\text{процент уменьшения площади} = \left(1 - 0.42\right) \cdot 100\%
\]

Вычисляем значение в скобках:

\[
\text{процент уменьшения площади} = 0.58 \cdot 100\% = 58\%
\]

Таким образом, ответ: площадь прямоугольника сократится на 58%.

Теперь рассмотрим уменьшение периметра. Исходный периметр равен \(2L + 2W\), а новый периметр будет равен \(2(0.7L) + 2(0.6W)\). Мы можем выразить процент уменьшения периметра, сравнивая новый и исходный периметры:

\[
\text{процент уменьшения периметра} = \left(1 - \frac{{2(0.7L) + 2(0.6W)}}{{2L + 2W}}\right) \cdot 100\%
\]

Раскроем скобки в числителе:

\[
\text{процент уменьшения периметра} = \left(1 - \frac{{1.4L + 1.2W}}{{2L + 2W}}\right) \cdot 100\%
\]

Далее упростим выражение, домножив числитель и знаменатель на 0.5:

\[
\text{процент уменьшения периметра} = \left(1 - \frac{{0.7L + 0.6W}}{{L + W}}\right) \cdot 100\%
\]

Мы можем разделить числитель и знаменатель на \(L + W\):

\[
\text{процент уменьшения периметра} = \left(1 - 0.7 \cdot \frac{L}{{L + W}} - 0.6 \cdot \frac{W}{{L + W}}\right) \cdot 100\%
\]

Таким образом, ответ: периметр прямоугольника сократится на нелинейный процент, зависящий от соотношения длины и ширины прямоугольника. Мы не можем точно выразить его в процентах без дополнительных данных о значениях \(L\) и \(W\).