На сколько метров в результате уменьшилась длина ограждения, если школьный участок для выращивания овощных культур

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо сначала найти исходные размеры школьного участка. Далее, мы увеличиваем ширину на 6 метров и уменьшаем длину на 9 метров, чтобы превратить ограждение в квадрат. Наконец, мы сравниваем исходную длину ограждения с новой длиной и находим, на сколько метров она уменьшилась.

Итак, пусть исходная длина школьного участка равна \(x\) метрам, а ширина равна \(y\) метрам. После увеличения ширины и уменьшения длины мы получим новую длину ограждения, которую обозначим через \(l\).

Так как площадь школьного участка должна остаться неизменной, мы можем записать уравнение:

\[x \cdot y = l^2\]

Теперь рассмотрим изменения длины и ширины ограждения. Длина уменьшилась на 9 метров (\(x - 9\)), а ширина увеличилась на 6 метров (\(y + 6\)). То есть, у нас есть следующие равенства:

\[x - 9 = y + 6\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(y\) и подставить его в первое уравнение:

\[x \cdot (x - 9) = (y + 6)^2\]

Раскроем скобки в этом уравнении:

\[x^2 - 9x = y^2 + 12y + 36\]

Наша задача - найти значение \(l\), которое представляет собой новую длину ограждения. Мы знаем, что после увеличения ширины и уменьшения длины мы получаем квадратное ограждение, поэтому \(l = y + 6\).

Теперь мы можем заменить \(l\) в уравнении и решить его:

\[x^2 - 9x = (l - 6)^2\]

Раскроем скобки в данном уравнении:

\[x^2 - 9x = l^2 - 12l + 36\]

Теперь заменим \(l\) на \(y + 6\):

\[x^2 - 9x = (y + 6)^2 - 12(y + 6) + 36\]

Раскроем скобки в этом уравнении и приведем подобные члены:

\[x^2 - 9x = y^2 + 12y + 36 - 12y - 72 + 36\]

Упростим и приведем подобные члены:

\[x^2 - 9x = y^2 - 36\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(y\) и получить квадратное уравнение:

\[y^2 - 9x - 36 = 0\]

Теперь применим квадратную формулу для нахождения корней:

\[y = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]

Где \(a = 1\), \(b = -9x\), \(c = -36\). Подставим эти значения в формулу:

\[y = \frac{{-(-9x) \pm \sqrt{{(-9x)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36)}}}}{{2 \cdot 1}}\]

Упростим:

\[y = \frac{{9x \pm \sqrt{{81x^2 + 144}}}}{{2}}\]

Теперь, чтобы узнать на сколько метров уменьшилась длина ограждения, нужно вычислить разницу между \(x\) и \(l\), то есть:

\[x - l = x - (y + 6)\]

Подставляем значение \(y\) в это уравнение:

\[x - l = x - \left(\frac{{9x \pm \sqrt{{81x^2 + 144}}}}{{2}} + 6\right)\]

Упростим:

\[x - l = x - \frac{{9x}}{{2}} \mp \frac{{\sqrt{{81x^2 + 144}}}}{{2}} - 6\]

Таким образом, мы получаем выражение для разницы:

\[x - l = \frac{{x}}{{2}} \mp \frac{{\sqrt{{81x^2 + 144}}}}{{2}} - 6\]

Таким образом, разница между исходной длиной ограждения и новой длиной ограждения составляет \(\frac{{x}}{{2}} \mp \frac{{\sqrt{{81x^2 + 144}}}}{{2}} - 6\) метров.