На сколько будет уменьшено ускорение свободного падения на поверхности Юпитера, если радиус увеличивается в 2,4 раза

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать закон всемирного тяготения и формулу для ускорения свободного падения.

Закон всемирного тяготения утверждает, что сила гравитационного притяжения между двумя телами прямо пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Ускорение свободного падения на поверхности планеты зависит от массы планеты и ее радиуса. Формула для ускорения свободного падения на поверхности планеты выглядит так:

\[g = \frac{{G \cdot M}}{R^2}\]

где:
\(g\) - ускорение свободного падения,
\(G\) - гравитационная постоянная (\(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2\)),
\(M\) - масса планеты,
\(R\) - радиус планеты.

Дано, что исходное ускорение свободного падения на Юпитере составляет \(2.58 \, \text{м/с}^2\) и радиус увеличивается в 2.4 раза при постоянной массе.

Пусть \(g_1\) - исходное ускорение на Юпитере и \(R_1\) - исходный радиус Юпитера.

Мы знаем, что:

\(g_1 = \frac{{G \cdot M_1}}{{R_1^2}}\)

Также мы знаем, что новый радиус Юпитера \(R_2\) равен предыдущему радиусу Юпитера \(R_1\) умноженному на 2.4:

\(R_2 = R_1 \cdot 2.4\)

Теперь нам нужно выразить новое ускорение свободного падения \(g_2\) через \(M_1\) и \(R_2\).

Так как масса планеты остается постоянной, мы можем записать:

\(g_2 = \frac{{G \cdot M_1}}{{R_2^2}}\)

Подставим выражение для \(R_2\):

\(g_2 = \frac{{G \cdot M_1}}{{(R_1 \cdot 2.4)^2}}\)

Разделим \(g_2\) на \(g_1\) и упростим выражение:

\(\frac{{g_2}}{{g_1}} = \frac{{\frac{{G \cdot M_1}}{{(R_1 \cdot 2.4)^2}}}}{{\frac{{G \cdot M_1}}{{R_1^2}}}}\)

Для упрощения выражения в числителе и знаменателе, мы можем сократить \(G\) и \(M_1\):

\(\frac{{g_2}}{{g_1}} = \frac{{R_1^2}}{{(R_1 \cdot 2.4)^2}}\)

\(\frac{{g_2}}{{g_1}} = \frac{{R_1^2}}{{R_1^2 \cdot (2.4)^2}}\)

\(\frac{{g_2}}{{g_1}} = \frac{1}{{(2.4)^2}}\)

Вычисляя значение величины \((2.4)^2\), мы получаем:

\((2.4)^2 = 5.76\)

Подставим это значение обратно:

\(\frac{{g_2}}{{g_1}} = \frac{1}{5.76}\)

Таким образом, ускорение свободного падения на поверхности Юпитера уменьшится в \(5.76\) раз.

Это означает, что новое ускорение свободного падения будет равно:

\(g_2 = g_1 \cdot \frac{1}{5.76}\)

Подставим значение \(g_1 = 2.58 \, \text{м/с}^2\):

\(g_2 = 2.58 \cdot \frac{1}{5.76} \, \text{м/с}^2\)

\(g_2 \approx 0.447 \, \text{м/с}^2\)

Таким образом, ускорение свободного падения на поверхности Юпитера уменьшится до примерно \(0.447 \, \text{м/с}^2\) при увеличении радиуса в 2.4 раза при постоянной массе.