На сколько будет уменьшена амплитуда колебаний материальной точки через 1 секунду после начала колебаний, если

Для решения данной задачи о затухающих колебаниях материальной точки нам понадобятся формулы, связанные с этой темой.

Предположим, что амплитуда колебаний материальной точки в момент времени \( t \) равна \( A(t) \). Тогда формула, описывающая изменение амплитуды во времени, имеет вид:

\[ A(t) = A_0 \cdot e^{-\gamma t} \]

где \( A_0 \) - начальная амплитуда колебаний, а \( \gamma \) - коэффициент затухания.

В данной задаче задано, что период колебаний равен 1 секунде, то есть \( T = 1 \) секунда.

Для определения, на сколько будет уменьшена амплитуда через 1 секунду (\( \Delta A \)), нам нужно знать начальную амплитуду (\( A_0 \)) и значение амплитуды через 1 секунду (\( A(t=1) \)).

Подставляя \( t = 1 \) в формулу для амплитуды, получаем:

\[ A(1) = A_0 \cdot e^{-\gamma \cdot 1} \]

Учитывая, что коэффициент затухания равен 1 в секунду (\( \gamma = 1 \)),
мы можем записать:

\[ A(1) = A_0 \cdot e^{-1} \]

Теперь мы можем найти разность между начальной амплитудой и амплитудой через 1 секунду:

\[ \Delta A = A_0 - A(1) \]

Подставляя выражение для \( A(1) \), получим:

\[ \Delta A = A_0 - A_0 \cdot e^{-1} \]

Фактор 1/e (где e - основание натурального логарифма) примерно равен 0.368, поэтому можно записать:

\[ \Delta A = A_0 - 0.368 \cdot A_0 \]

Упрощая это выражение, получим:

\[ \Delta A = 0.632 \cdot A_0 \]

Таким образом, амплитуда колебаний будет уменьшена на приблизительно 0.632 (или около 63.2%) от начальной амплитуды через 1 секунду после начала колебаний.

Чтобы изобразить затухающие колебания, можно построить график амплитуды от времени. По оси абсцисс откладывается время, а по оси ординат - амплитуда. Изначально амплитуда будет равна начальной амплитуде \( A_0 \), а затем с течением времени будет уменьшаться согласно формуле \( A(t) = A_0 \cdot e^{-\gamma t} \).