На скільки разів більше триватиме подорож човна між двома пунктами проти течії, ніж за течією, якщо швидкість руху

Для решения этой задачи нам нужно использовать знание о скорости течения реки и скорости движения лодки относительно воды.

Пусть скорость течения реки обозначается через \(v\), а скорость движения лодки относительно воды - через \(u\). При движении лодки против течения реки, скорость лодки относительно берега будет равна разности скорости лодки относительно воды и скорости течения реки, то есть \(u - v\). А при движении лодки вдоль течения реки, скорость лодки относительно берега будет равна сумме скорости лодки относительно воды и скорости течения реки, то есть \(u + v\).

Теперь приступим к решению задачи.

1. В первом случае, если скорость лодки относительно воды вдвое больше скорости течения реки (\(u = 2v\)), то время, необходимое для преодоления расстояния между двумя точками против течения, будет равно расстоянию, поделенному на скорость движения лодки относительно берега:

\[
t_1 = \frac{d}{u-v} = \frac{d}{2v-v}=\frac{d}{v}
\]

А время, необходимое для преодоления расстояния между двумя точками вдоль течения, будет равно:

\[
t_2 = \frac{d}{u+v} = \frac{d}{2v+v} = \frac{d}{3v}
\]

Тогда, чтобы найти на сколько раз дольше будет длиться путь против течения, чем вдоль течения, мы должны поделить время пути против течения на время пути вдоль течения:

\[
\frac{t_1}{t_2} = \frac{\frac{d}{v}}{\frac{d}{3v}} = \frac{3v}{v} = 3
\]

Таким образом, время пути против течения будет в 3 раза больше, чем время пути вдоль течения.

2. Во втором случае, если скорость лодки относительно воды в 11 раз больше скорости течения реки (\(u = 11v\)), мы можем аналогично рассчитать время пути:

\[
t_1 = \frac{d}{u-v} = \frac{d}{11v-v} = \frac{d}{10v}, \quad t_2 = \frac{d}{u+v} = \frac{d}{11v+v} = \frac{d}{12v}
\]

Теперь найдем соотношение времен пути:

\[
\frac{t_1}{t_2} = \frac{\frac{d}{10v}}{\frac{d}{12v}} = \frac{12v}{10v} = \frac{6}{5}
\]

Таким образом, время пути против течения будет в \(\frac{6}{5}\) раза больше, чем время пути вдоль течения.

Ответ:

1. В первом случае время пути против течения будет в 3 раза больше, чем время пути вдоль течения.
2. Во втором случае время пути против течения будет в \(\frac{6}{5}\) раза больше, чем время пути вдоль течения.