На протяжении дороги от точки а были установлены столбы каждые 30 метров. Сейчас планируется заменить эти столбы

Для решения этой задачи мы можем использовать деление с остатком.

Итак, изначально столбы были установлены каждые 30 метров. Расстояние между столбами можно представить в виде \(30n\), где \(n\) - количество столбов на данном участке дороги.

Теперь планируется установить новые столбы каждые 45 метров. Расстояние между новыми столбами можно представить в виде \(45m\), где \(m\) - количество новых столбов на данном участке дороги.

Нам нужно найти расстояние от точки "а" до ближайшего столба, который будет стоять на месте старого. Поскольку эта точка находится между двумя старыми столбами, то давайте найдем это расстояние для двух возможных ситуаций: если точка "а" находится ближе к левому старому столбу и если она находится ближе к правому старому столбу.

Сначала рассмотрим случай, когда точка "а" находится ближе к левому старому столбу. Расстояние от точки "а" до этого столба можно выразить формулой \(30n - x\), где \(x\) - расстояние от точки "а" до ближайшего нового столба, который будет стоять на месте старого.

Затем рассмотрим случай, когда точка "а" находится ближе к правому старому столбу. Расстояние от точки "а" до этого столба можно выразить формулой \(30n + x\), где \(x\) - расстояние от точки "а" до ближайшего нового столба, который будет стоять на месте старого.

Теперь посмотрим какое из этих двух расстояний является минимальным, поскольку мы ищем ближайший столб. Обозначим это расстояние как \(d\).

Для определения \(d\) можно использовать деление с остатком. Делим \(30n - x\) на 45 и находим остаток. Если остаток равен нулю, то точка "а" располагается ровно между двумя новыми столбами и ближайший столб будет стоять на месте старого. Если остаток не равен нулю, то мы должны добавить расстояние до следующего нового столба для определения точного расстояния до ближайшего столба.

Таким образом, мы можем решить эту задачу следующими шагами:

1. Найдите количество старых столбов \(n\) между точками "а" и "б" с помощью деления длины дороги на 30. (Возможно, понадобится округление в большую сторону, если нецелое количество столбов не подходит.)
\[n = \frac{{\text{{длина дороги}}}}{{30}}\]

2. Вычислите расстояние от точки "а" до ближайшего старого столба (по левую сторону) с помощью выражения \(30n - x\), где \(x\) - это расстояние от точки "а" до ближайшего нового столба, который будет стоять на месте старого.
\[d_1 = 30n - x\]

3. Вычислите расстояние от точки "а" до ближайшего старого столба (по правую сторону) с помощью выражения \(30n + x\), где \(x\) - это расстояние от точки "а" до ближайшего нового столба, который будет стоять на месте старого.
\[d_2 = 30n + x\]

4. Определите остаток от деления \(d_1\) на 45. Если остаток равен 0, то \(d = d_1\), иначе \(d = d_1 + 45\).

5. Определите остаток от деления \(d_2\) на 45. Если остаток равен 0 и \(d_2 < d\), то \(d = d_2\), иначе, если остаток равен 0 и \(d_2 > d\), то \(d = d\), иначе \(d = d_2 + 45\).

Таким образом, после выполнения всех этих шагов мы получим значение \(d\) - расстояние от точки "а" до ближайшего столба, который будет стоять на месте старого.