Каким числом нужно дополнить квадрат суммы x^2+16?

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо дополнить квадрат суммы \(x^2 + 16\) числом \(y\). Сначала посмотрим, как можно представить квадрат суммы.

Квадрат суммы двух чисел \((a + b)^2\) можно разложить по формуле квадрата суммы:
\[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]

В нашем случае, у нас есть квадрат суммы \(x^2 + 16\). Мы хотим дополнить его числом \(y\). То есть, нам нужно найти число \(y\), такое что
\[
(x^2 + 16) + y = (a + b)^2
\]
где \(a\) и \(b\) - это два числа, которые мы должны найти.

Мы уже знаем, что сумма \(a^2 + 2ab + b^2\) должна быть равна \(x^2 + 16\) плюс \(y\). Это дает нам уравнение:
\[
a^2 + 2ab + b^2 = x^2 + 16 + y
\]

Теперь нам нужно найти числа \(a\) и \(b\). Для этого мы можем разложить \(x^2 + 16 + y\) по формуле квадрата разности. Формула квадрата разности выглядит следующим образом:
\[
(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2
\]

Поэтому, чтобы \(x^2 + 16 + y\) можно было представить в виде квадрата разности, необходимо, чтобы \(2ab\) равнялось \(-2xy\) и \(b^2\) равнялось \(y^2\). Это дает нам следующие уравнения:
\[
2ab = -2xy \quad \text{(1)}
\]
\[
b^2 = y^2 \quad \text{(2)}
\]

Теперь мы можем решить эти уравнения. Сначала рассмотрим уравнение (2):
\[
b^2 = y^2
\]

Возможны два варианта:
1) \(b = y\)
2) \(b = -y\)

Теперь подставим найденные значения \(b\) в уравнение (1):
\[
2ab = -2xy
\]

Для варианта 1):
\[
2ay = -2xy
\]
откуда получаем \(a = -x\)

Для варианта 2):
\[
-2ay = -2xy
\]
откуда получаем \(a = x\)

Итак, мы нашли две пары чисел \(a\) и \(b\):
1) \(a = -x\), \(b = y\)
2) \(a = x\), \(b = -y\)

Теперь мы можем записать наше уравнение в виде квадрата суммы:
\[
(x^2 + 16) + y = (x + y)^2 \quad \text{или} \quad (x^2 + 16) + y = (x - y)^2
\]

Но так как нам нужно только одно число для дополнения квадрата суммы \(x^2 + 16\), то получается, что \(y\) равно либо \((x + y)^2 - (x^2 + 16)\), либо \((x - y)^2 - (x^2 + 16)\).

Таким образом, чтобы дополнить квадрат суммы \(x^2 + 16\) нам нужно добавить число \(y\), где
\[
y = (x + y)^2 - (x^2 + 16) \quad \text{или} \quad y = (x - y)^2 - (x^2 + 16)
\]

Зная значение \(x\), вы можете подставить его в одно из этих уравнений и вычислить \(y\).