На промежутке (-2, +∞) докажите, что функция f(x) = 5/(x+2) убывает

Хорошо, давайте решим данную задачу.

Для доказательства того, что функция \(f(x) = \frac{5}{x+2}\) убывает на промежутке \((-2, +\infty)\), мы должны показать, что для любых двух значений аргумента \(x_1\) и \(x_2\), где \(x_1 < x_2\) на этом промежутке, соответствующие значения функции \(f(x_1)\) и \(f(x_2)\) удовлетворяют неравенству \(f(x_1) > f(x_2)\).

Давайте возьмем две точки \(x_1\) и \(x_2\) на промежутке \((-2, +\infty)\), где \(x_1 < x_2\). Подставим эти значения в функцию \(f(x)\):

\[f(x_1) = \frac{5}{x_1 + 2}\]
\[f(x_2) = \frac{5}{x_2 + 2}\]

Теперь давайте сравним значения \(f(x_1)\) и \(f(x_2)\).

Мы хотим показать, что \(f(x_1) > f(x_2)\). Для этого вычислим разность между \(f(x_1)\) и \(f(x_2)\):

\[f(x_1) - f(x_2) = \frac{5}{x_1 + 2} - \frac{5}{x_2 + 2}\]

Чтобы проанализировать знак этой разности, приведем общий знаменатель:

\[f(x_1) - f(x_2) = \frac{5(x_2 + 2) - 5(x_1 + 2)}{(x_1 + 2)(x_2 + 2)}\]

Упрощаем числитель:

\[f(x_1) - f(x_2) = \frac{5x_2 + 10 - 5x_1 - 10}{(x_1 + 2)(x_2 + 2)}\]

\[f(x_1) - f(x_2) = \frac{5x_2 - 5x_1}{(x_1 + 2)(x_2 + 2)}\]

Факторизуем числитель:

\[f(x_1) - f(x_2) = \frac{5(x_2 - x_1)}{(x_1 + 2)(x_2 + 2)}\]

Мы видим, что числитель равен \((x_2 - x_1)\), а знаменатель положительный на заданном интервале \((-2, +\infty)\).

Таким образом, выражение \(f(x_1) - f(x_2)\) имеет такой же знак, как \((x_2 - x_1)\). Если \(x_1 < x_2\), то \((x_2 - x_1)\) будет положительным. Следовательно, \(f(x_1) - f(x_2)\) также положительное число.

Это означает, что \(f(x_1) > f(x_2)\) для любых двух значений \(x_1\) и \(x_2\) на промежутке \((-2, +\infty)\), где \(x_1 < x_2\).

Таким образом, функция \(f(x) = \frac{5}{x+2}\) убывает на промежутке \((-2, +\infty)\).