На плоскости абс1е исходные квадраты abcd и abc1d1 не находятся в одной плоскости. Точка e отмечена на отрезке

Для решения данной задачи нам понадобится геометрический анализ и понимание свойств плоскостей и прямых.

1) Чтобы найти точку пересечения прямой, проходящей через точку С и перпендикулярной плоскости АВС1, нам нужно определить уравнение этой прямой.

Для начала, найдем вектор нормали к плоскости ABC1. Воспользуемся свойством перпендикулярности прямых и плоскостей - если прямая перпендикулярна плоскости, то вектор, задающий прямую, будет перпендикулярен вектору нормали плоскости.

В плоскости ABC1 возьмем два вектора: \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC1}\). Векторное произведение этих векторов даст нам вектор нормали, так как оно перпендикулярно плоскости.
\[ \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC1} \]

Теперь у нас есть вектор нормали к плоскости ABC1, но нам нужно найти прямую, проходящую через точку C и перпендикулярную плоскости.

Заметим, что любой вектор, параллельный плоскости, будет перемножаться с вектором нормали плоскости и давать нулевой результат. Следовательно, если мы возьмем вектор, соединяющий точку C с некоторой точкой на искомой прямой, и перемножим его с вектором нормали, то получим нулевой вектор.

Пусть точка на прямой обозначена как \( \vec{CP} \). Тогда:
\[ \vec{CP} \times \vec{n} = \vec{0} \]

Полученное уравнение можно решить относительно P:

\[ \vec{CP} \times \vec{n} = \vec{0} \Rightarrow \vec{CP} = \lambda \vec{n} \]

Где \( \lambda \) - параметр, позволяющий нам найти все точки на прямой.

Таким образом, мы можем задать уравнение прямой, проходящей через точку C и перпендикулярной плоскости ABC1:
\[ \vec{P} = \vec{C} + \lambda \vec{n} \]

2) Теперь рассмотрим вторую часть задачи, где необходимо найти точку пересечения прямой, проходящей через точку D1 и перпендикулярной плоскости ABC1.

По аналогии с предыдущей частью задачи, мы должны найти вектор нормали к плоскости ABC1. Пользуясь тем же свойством перпендикулярности, возьмем векторное произведение других двух векторов, например, \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD1}\):

\[ \vec{n"} = \vec{AB} \times \vec{AD1} \]

Затем, зададим уравнение прямой, проходящей через точку D1 и перпендикулярной плоскости ABC1:

\[ \vec{P"} = \vec{D1} + \mu \vec{n"} \]

Где \( \mu \) - параметр, позволяющий найти все точки на этой прямой.

3) Теперь, чтобы найти точку пересечения данных прямых, мы должны решить систему уравнений, состоящую из двух уравнений прямых. То есть, нам необходимо найти значения параметров \( \lambda \) и \( \mu \), при которых полученные уравнения прямых пересекутся:

\[
\begin{cases}
\vec{P} = \vec{C} + \lambda \vec{n} \\
\vec{P"} = \vec{D1} + \mu \vec{n"}
\end{cases}
\]

Решив эту систему уравнений, мы найдем значения параметров \( \lambda \) и \( \mu \), а затем и точку пересечения прямых.

Итак, мы рассмотрели как найти точку пересечения прямой, проходящей через точку C и перпендикулярной плоскости ABC1, и прямой, проходящей через точку D1 и перпендикулярной плоскости ABC1. Теперь остается лишь решить систему уравнений и найти точку пересечения данных прямых. Применение этого метода позволит нам получить искомый результат.