На от­рез­ке АВ бы­ла выб­ра­на точ­ка С, с ус­ло­ви­ем, что АС=68 и ВС=17. Мы по­стро­и­ли окру­ж­ность с цен­тром

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться свойствами окружностей, а именно свойством о радиусе, перпендикулярном касательной.

Итак, у нас есть отрезок $AC$ длиной 68 и отрезок $BC$ длиной 17. Окружность с центром в точке $A$ проходит через точку $C$. Наша задача - найти длину отрезка $BV$, где $V$ - точка касательной из точки $B$ к этой окружности.

1. Давайте сначала построим окружность с центром в точке $A$ и проходящую через точку $C$. Обозначим эту окружность как $\odot A$.

2. Поскольку точка $V$ находится на касательной, проведенной из точки $B$ к окружности, то отрезок $AV$ будет радиусом окружности $\odot A$.

3. Поскольку отрезок $AV$ - радиус окружности, он будет перпендикулярен касательной, проведенной из точки $V$ к окружности. Обозначим точку пересечения отрезка $AV$ и касательной как точку $M$.

4. Так как отрезок $AV$ - радиус окружности, мы знаем, что длина отрезка $AV$ равна радиусу окружности, обозначим его как $r$.

5. Длина отрезка $AM$ будет равна $r$, поскольку отрезок $AV$ является радиусом окружности.

6. Обозначим расстояние от точки $M$ до точки $B$ как $x$.

7. Теперь у нас есть два треугольника: $\mathrm{△}ABM$ и $\mathrm{△}CBM$, которые являются прямоугольными, поскольку отрезок $AV$ перпендикулярен отрезку $BM$.

8. В треугольнике $\mathrm{△}ABM$ у нас есть известные стороны: отрезки $AB$ и $AM$, а также неизвестная сторона $BM=x$. Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения этой неизвестной стороны.

$$A{B}^2=A{M}^2+B{M}^2$$

$$A{B}^2-A{M}^2=B{M}^2$$

$${68}^2-r^2=x^2$$

Заметьте, что мы заменили $AM$ на значение радиуса $r$, поскольку они равны.

9. В треугольнике $\mathrm{△}CBM$ у нас есть известные стороны: отрезки $CB=17$ и $BM=x$, а также неизвестная сторона $CM=r+x$. Мы также можем использовать теорему Пифагора для нахождения этой неизвестной стороны.

$$C{B}^2=C{M}^2+B{M}^2$$

$${17}^2=(r+x{)}^2+x^2$$

10. Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($r$ и $x$). Эту систему можно решить, чтобы найти значения $r$ и $x$.

11. После нахождения $r$ и $x$, мы можем найти длину отрезка $BV$, который является гипотенузой треугольника $\mathrm{△}CBV$. Длина отрезка $BV$ будет равна $x+17$.

Таким образом, мы можем решить данную задачу, используя свойства окружностей и применяя теорему Пифагора для треугольников. Ответом на задачу будет длина отрезка $BV$, равная $x+17$, где $x$ - это значение, которое мы найдем, решив систему уравнений из шагов 8 и 9.