На кубе abcda1b1c1d1 с длиной стороны 1 ед. на стороне a1d1 находится точка m, так что отношение a1m к md1 равно

Чтобы решить задачу, мы можем воспользоваться геометрическими свойствами и формулами. Давайте начнем.

У нас есть куб ABCDA1B1C1D1 с длиной стороны 1 ед. Мы должны найти синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью (BB1D1D).

Для начала, давайте найдем координаты точки M. Мы знаем, что отношение A1M к MD1 равно 3:4. Так как точка M расположена на прямой AD1, сумма координат каждой точки будет одинаковой. Поэтому мы можем найти координаты точки M, используя пропорцию:

\[\frac{A1M}{MD1} = \frac{3}{4}\]

Пусть x будет координатой точки M на ребре AD1. Используя пропорцию, мы можем записать:

\[\frac{x}{1-x} = \frac{3}{4}\]

Решив эту пропорцию, мы найдем значение x:

\[x = \frac{3}{7}\]

Теперь у нас есть координата точки M. Следующий шаг - найти точку Bb1D.

Так как сторона куба имеет длину 1 ед., мы можем найти координаты точки B через координаты точки A:

\[B = (A_X + 1, A_Y, A_Z)\]

Аналогичным образом, мы можем найти координаты точки B1:

\[B1 = (A_X + 1, A_Y, A_Z + 1)\]

И координаты точки D1:

\[D1 = (A_X, A_Y, A_Z + 1)\]

Теперь у нас есть координаты всех точек, которые нам нужны. Мы можем найти векторы AB, AD и AM, используя формулу:

\[\overrightarrow{AB} = B - A\]
\[\overrightarrow{AD} = D - A\]
\[\overrightarrow{AM} = M - A\]

Теперь мы можем найти скалярное произведение векторов AM и диагональной плоскости (BB1D1D). Для этого нам нужно найти вектор, перпендикулярный плоскости, который будет направлен вниз.

Сначала найдем вектор, лежащий в плоскости (BB1D1D):

\[\overrightarrow{BB1} = B1 - B\]
\[\overrightarrow{BD1} = D1 - B\]

Теперь найдем вектор, перпендикулярный плоскости:

\[\overrightarrow{n} = \overrightarrow{BB1} \times \overrightarrow{BD1}\]

где \(\times\) обозначает векторное произведение.

И, наконец, найдем скалярное произведение векторов AM и \(\overrightarrow{n}\):

\[|\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{n}| = |\overrightarrow{AM}| \times |\overrightarrow{n}| \times \sin(\phi)\]

Мы знаем, что длина стороны куба равна 1 ед., поэтому длина вектора AM равна \(\sqrt{3} \times x\), а длина вектора \(\overrightarrow{n}\) равна \(|\overrightarrow{BB1} \times \overrightarrow{BD1}|\).

Теперь у нас есть все необходимые значения, чтобы найти синус угла ϕ:

\[\sin(\phi) = \frac{|\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AM}| \times |\overrightarrow{n}|}\]

Надеюсь, эта подробная информация помогла вам решить задачу. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.