На кубе abcda1b1c1d1 отмечены точки n и m на рёбрах b1a1 и a1d1 соответственно. Известно, что отношения b1n:na1

Пусть длина ребра куба равна \(a\).

Для начала, нам необходимо найти координаты точек \(n\) и \(m\).

Так как отношение \(b_1n:na_1 = 1:3\), мы можем сделать следующее предположение: пусть \(b_1n = x\) и \(na_1 = 3x\). Обратите внимание, что мы использовали то, что отношение составляет 1:3. Теперь у нас есть два уравнения:

\[
\begin{align*}
b_1n &= x \\
na_1 &= 3x
\end{align*}
\]

Теперь найдем координаты точки \(n\).

Так как точка \(n\) находится на ребре \(b_1a_1\), мы можем представить координаты точки \(n\) следующим образом: \(n = (1, 0, x)\).

Аналогично, предположим, что \(am = y\) и \(md_1 = 4y\). У нас есть два уравнения:

\[
\begin{align*}
am &= y \\
md_1 &= 4y
\end{align*}
\]

Теперь найдем координаты точки \(m\).

Так как точка \(m\) находится на ребре \(a_1d_1\), мы можем представить координаты точки \(m\) следующим образом: \(m = (a, 0, a - 4y)\).

Теперь мы можем найти вектор \(\vec{bn}\) и вектор \(\vec{am}\).

\(\vec{bn} = \vec{n} - \vec{b_1} = (1, 0, x) - (0, 0, 0) = (1, 0, x)\)

\(\vec{am} = \vec{m} - \vec{a} = (a, 0, a - 4y) - (0, 0, 0) = (a, 0, a - 4y)\)

Теперь найдем скалярное произведение векторов \(\vec{bn}\) и \(\vec{am}\). Для этого умножим соответствующие координаты векторов и просуммируем результаты:

\[
\vec{bn} \cdot \vec{am} = 1 \cdot a + 0 \cdot 0 + x \cdot (a - 4y) = a + x(a - 4y)
\]

Также найдем модули векторов \(\vec{bn}\) и \(\vec{am}\). Для этого возведем в квадрат и просуммируем квадраты соответствующих координат:

\[
|\vec{bn}|^2 = 1^2 + 0^2 + x^2 = 1 + x^2
\]

\[
|\vec{am}|^2 = a^2 + 0^2 + (a - 4y)^2 = a^2 + (a - 4y)^2
\]

Теперь мы можем найти косинус угла \(\alpha\) между прямыми \(bn\) и \(am\). Формула для нахождения косинуса угла через скалярное произведение и модули векторов выглядит следующим образом:

\[
\cos(\alpha) = \frac{\vec{bn} \cdot \vec{am}}{|\vec{bn}| \cdot |\vec{am}|}
\]

Подставим найденные ранее значения:

\[
\cos(\alpha) = \frac{a + x(a - 4y)}{\sqrt{1 + x^2} \cdot \sqrt{a^2 + (a - 4y)^2}}
\]

Таким образом, косинус угла \(\alpha\) между прямыми \(bn\) и \(am\) равен \(\frac{a + x(a - 4y)}{\sqrt{1 + x^2} \cdot \sqrt{a^2 + (a - 4y)^2}}\).