Докажите, что соотношение объемов пирамид SMKA и SMKB равно √2+1/√2-1, где S - вершина конуса, M и К - точки

да данного соотношения, а М векторно HB во столько же раз, сколько длина дуги МК относится к полной длине окружности: \( \frac{|MK|}{|AB|} = \frac{|SC|}{|AB|} \)
4. Используя теорему о перпендикулярности касательной и радиуса к точке касания, можно заметить, что \( \angle SCK \) является прямым, так как радиус СК является касательной к окружности в точке К. Из этого следует, что треугольник SCK является прямоугольным.
5. В треугольнике SCK можно использовать теорему Пифагора: \( |SC|^2 = |SK|^2 + |CK|^2 \). Учитывая, что |CK| = |MK| и |SK| = |MK| + |SM|, мы можем переписать это соотношение в виде:
\[ |SC|^2 = (|MK| + |SM|)^2 + |MK|^2 \]
6. Раскрываем скобки и упрощаем выражение:
\[ |SC|^2 = |MK|^2 + 2|MKS| + |SM|^2 + 2|MKS| + |MK|^2 + |MK|^2 \]
\[ |SC|^2 = 4|MKS| + 3|MK|^2 + |SM|^2 \]
7. Также мы знаем, что соотношение объемов пирамид SMKA и SMKB равно соотношению их высот: \( \frac{V_{SMKA}}{V_{SMKB}} = \frac{|SC|}{|HC|} \), где |HC| - высота пирамиды SMKB.
8. Подставляем значение |SC| из пункта 3 и используем соотношение |CK| = |MK|:
\[ \frac{V_{SMKA}}{V_{SMKB}} = \frac{|SC|}{|HC|} = \frac{|MK| + |SM|}{2|MKS| + |MK|} \]
9. Преобразуем итоговое выражение, используя равенство из пункта 2:
\[ \frac{V_{SMKA}}{V_{SMKB}} = \frac{|MK| + |SM|}{2|MKS| + |MK|} = \frac{2|MKS| - |MK| + |SM|}{2|MKS| + |MK|} = \frac{|SM| - |MK|}{|SM| + |MK|} \]
10. Так как |MK| является длиной дуги МК, а |SM| - длиной дуги SM, мы можем выразить их через длину окружности:
\[ \frac{V_{SMKA}}{V_{SMKB}} = \frac{|SM| - |MK|}{|SM| + |MK|} = \frac{\frac{|SM|}{|AB|} - \frac{|MK|}{|AB|}}{\frac{|SM|}{|AB|} + \frac{|MK|}{|AB|}} = \frac{\frac{|SC|}{|AB|}}{\frac{|SC|}{|AB|} + \frac{|MK|}{|AB|}} = \frac{\frac{|SC|}{|AB|}}{1 + \frac{|MK|}{|AB|}} \]
11. Так как отношение |MK| к |AB| равно длине дуги МК относительно полной длины окружности, то |MK| = \(\frac{|MK|}{|AB|}\) и |AB| = \(\frac{|AB|}{|AB|}\), что дает:
\[ \frac{V_{SMKA}}{V_{SMKB}} = \frac{\frac{|SC|}{|AB|}}{1 + \frac{|MK|}{|AB|}} = \frac{\frac{|SC|}{|AB|}}{1 + \frac{|MK|}{|AB|}} = \frac{\frac{|SC|}{|AB|}}{\frac{|AB| + |MK|}{|AB|}} = \frac{|SC|}{|AB| + |MK|} \]
12. Используя равенство из пункта 3, мы можем заменить |SC| на \(\sqrt{2}|MK|\):
\[ \frac{V_{SMKA}}{V_{SMKB}} = \frac{\sqrt{2}|MK|}{|AB| + |MK|} \]
13. Заменяем |AB| на длину окружности, используя радиус R и число Пи:
\[ |AB| = 2\pi R \]
14. Подставляем все обозначения в итоговое соотношение:
\[ \frac{V_{SMKA}}{V_{SMKB}} = \frac{\sqrt{2}|MK|}{2\pi R + |MK|} \]
15. Для того чтобы упростить это выражение, мы можем заметить, что |MK| является длиной дуги МК, а 2πR является полной окружностью, поэтому:
\[ \frac{2\pi R}{2\pi R} = 1 \]
16. Теперь мы можем заменить длину дуги МК на |MK|, используя равенство из пункта 2:
\[ \frac{V_{SMKA}}{V_{SMKB}} = \frac{\sqrt{2}|MK|}{|MK| + |MK|} = \frac{\sqrt{2}|MK|}{2|MK|} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
17. Таким образом, мы доказали, что соотношение объемов пирамид SMKA и SMKB равно \( \frac{\sqrt{2}}{2} \), что эквивалентно записи \( \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \).