На какой высоте от поверхности пола был отпущен футбольный мяч, если после отскока его высота составляла 2 метра?

Для решения данной задачи нам понадобятся знания об ускорении свободного падения и о законах сохранения энергии.

Итак, предположим, что мяч был отпущен с высоты \(h\) метров от поверхности пола. После отскока его высота составила 2 метра, то есть \(h" = 2\) метра.

Согласно закону сохранения энергии, полная механическая энергия мяча в начальный момент времени равна полной механической энергии мяча после отскока. Полная механическая энергия складывается из потенциальной энергии и кинетической энергии.

В начальный момент времени мяч имеет только потенциальную энергию, которая равна \(mgh\), где \(m\) - масса мяча, \(g\) - ускорение свободного падения (приближенно равно 9,8 м/с²), а \(h\) - высота, с которой мяч был отпущен.

После отскока мяч имеет и кинетическую энергию, и потенциальную энергию. Потенциальная энергия равна \(mgh"\), где \(h"\) - высота после отскока мяча. Кинетическая энергия равна \(\frac{1}{2}mv^2\), где \(v\) - скорость мяча после отскока.

Таким образом, уравнение, описывающее закон сохранения энергии, выглядит следующим образом:

\[mgh = mgh" + \frac{1}{2}mv^2\]

Теперь нам нужно выразить высоту \(h\) через \(h"\) и найти скорость мяча после отскока. Для этого воспользуемся законом сохранения импульса.

У мяча вертикальная скорость меняется только из-за воздействия ускорения свободного падения. Поэтому можем записать:

\[v = \sqrt{2gh"}\]

Теперь подставим это значение в уравнение закона сохранения энергии:

\[mgh = mgh" + \frac{1}{2}m\cdot (2gh")\]

Сократим массу \(m\):

\[gh = gh" + gh"\]

Раскроем скобки:

\[gh = 2gh"\]

Теперь выразим \(h\) через \(h"\):

\[h = 2h"\]

Таким образом, мы получили, что высота, с которой был отпущен мяч, равняется двум высотам после отскока.

Для нахождения расстояния, которое пройден мячом \(L\), нам понадобится знать время, за которое мяч достиг высоты 2 метра после отскока. Воспользуемся уравнением движения тела в вертикальном направлении:

\[h" = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2\]

Подставим известные значения: \(h" = 2\), \(g = 9.8\) м/с². Скорость \(v_0\) равна скорости мяча после отскока, которую мы уже посчитали предыдущим образом \(v = \sqrt{2gh"}\). Нам неизвестно время \(t\).

Решим это уравнение численно, приведя его к квадратному уравнению:

\[2 = \sqrt{2g \cdot 2}t - \frac{1}{2}gt^2\]

Упростим:

\[2 = 4\sqrt{g} t - \frac{1}{2}gt^2\]

Получаем квадратное уравнение:

\[\frac{1}{2}gt^2 - 4\sqrt{g}t + 2 = 0\]

Решим его с помощью дискриминанта:

\[D = (4\sqrt{g})^2 - 4 \cdot \frac{1}{2}g \cdot 2 = 16g - 16g = 0\]

Таким образом, дискриминант равен нулю, что означает, что уравнение имеет один корень. Найдем этот корень:

\[t = \frac{-(-4\sqrt{g})}{2 \cdot \frac{1}{2}g} = \frac{4\sqrt{g}}{g} = \frac{4}{\sqrt{g}}\]

Теперь, зная время \(t\), найдем расстояние \(L\), которое пройден мячом, с помощью уравнения движения:

\[L = v_0 \cdot t = \sqrt{2gh"} \cdot \frac{4}{\sqrt{g}} = 4\sqrt{2gh"} = 4\sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 2} \approx 8.83 \, \text{м}\]

Итак, мяч пройдет расстояние \(L \approx 8.83\) метра и его модуль перемещения \(S = 2 \cdot L \approx 2 \cdot 8.83 \approx 17.66\) метра.

Таким образом, высота, с которой был отпущен мяч, равняется 4 метрам, расстояние \(L\) составляет приблизительно 8.83 метра, а модуль перемещения \(S\) равен приблизительно 17.66 метра.