На каком расстоянии от вершины конуса находится сечение, параллельное основанию, площадь которого составляет

Чтобы решить эту задачу, нужно использовать соотношение между площадью основания конуса и площадью параллельного сечения. Также нам дана высота конуса. Найдем эти величины и затем расстояние от вершины до сечения.

Площадь основания конуса можно найти по формуле для площади круга \(S_{\text{основания}} = \pi r^2\), где \(r\) - радиус основания конуса. Радиус \(r\) можно найти, зная диаметр основания \(d\) (равный двум радиусам). Для этого нужно разделить диаметр на 2: \(r = \frac{d}{2}\).

Поскольку площадь параллельного сечения составляет \(\frac{4}{9}\) от площади основания конуса, можно записать следующее соотношение:

\(\frac{4}{9} S_{\text{основания}} = S_{\text{сечения}}\)

Теперь перейдем к нахождению площади параллельного сечения. Поскольку сечение параллельно основанию, оно будет иметь ту же форму, что и основание конуса. То есть, это будет круг. Площадь круга можно найти по формуле \(S_{\text{сечения}} = \pi r_{\text{сечения}}^2\), где \(r_{\text{сечения}}\) - радиус сечения.

Подставив известные значения, получаем:

\(\frac{4}{9} \pi r^2 = \pi r_{\text{сечения}}^2\)

Теперь найдем радиус сечения \(r_{\text{сечения}}\):

\(\frac{4}{9} \pi r^2 = \pi r_{\text{сечения}}^2\)

Перейдем к радиусам:

\(\frac{4}{9} r^2 = r_{\text{сечения}}^2\)

Избавимся от знака равенства, взяв корень из обеих сторон:

\(\frac{2}{3} r = r_{\text{сечения}}\)

Теперь, когда у нас есть радиус сечения \(r_{\text{сечения}}\), нужно найти расстояние от вершины конуса до сечения. Обозначим эту величину \(h_{\text{сечения}}\). Можно использовать теорему Пифагора для правильного треугольника с катетами \(r_{\text{сечения}}\) и \(h_{\text{сечения}}\), и гипотенузой \(h\) (высотой конуса):

\[h^2 = r_{\text{сечения}}^2 + h_{\text{сечения}}^2\]

Подставив известные значения, получаем:

\[72^2 = \left(\frac{2}{3} r\right)^2 + h_{\text{сечения}}^2\]

Упростим это уравнение:

\[5184 = \frac{4}{9} r^2 + h_{\text{сечения}}^2\]

Теперь найдем \(h_{\text{сечения}}\):

\[h_{\text{сечения}}^2 = 5184 - \frac{4}{9} r^2\]

\[h_{\text{сечения}}^2 = \frac{46656 - 4r^2}{9}\]

\[h_{\text{сечения}} = \sqrt{\frac{46656 - 4r^2}{9}}\]

Мы нашли выражение для расстояния от вершины конуса до сечения \(h_{\text{сечения}}\) в зависимости от радиуса \(r\). Теперь подставим известное значение для радиуса:

\[h_{\text{сечения}} = \sqrt{\frac{46656 - 4 \left(\frac{d}{2}\right)^2}{9}}\]

\[h_{\text{сечения}} = \sqrt{\frac{46656 - 4 \left(\frac{d}{2}\right)^2}{9}}\]

\[h_{\text{сечения}} = \sqrt{\frac{46656 - 4 \left(\frac{d^2}{4}\right)}{9}}\]

\[h_{\text{сечения}} = \sqrt{\frac{46656 - d^2}{9}}\]

Теперь, когда у нас есть выражение для \(h_{\text{сечения}}\), мы можем подставить значение диаметра \(d\) (равный двум радиусам) и вычислить \(h_{\text{сечения}}\):

\[h_{\text{сечения}} = \sqrt{\frac{46656 - (2r)^2}{9}}\]

\[h_{\text{сечения}} = \sqrt{\frac{46656 - 4r^2}{9}}\]

Для нашего конуса, у которого высота равна 72 см, нужно вычислить \(h_{\text{сечения}}\) и перевести ее в сантиметры.

\[h_{\text{сечения}} = \sqrt{\frac{46656 - 4r^2}{9}}\]
\[h_{\text{сечения}} = \sqrt{\frac{46656 - 4(72/2)^2}{9}}\]
\[h_{\text{сечения}} = \sqrt{\frac{46656 - 4(36)^2}{9}}\]
\[h_{\text{сечения}} = \sqrt{\frac{46656 - 4(1296)}{9}}\]
\[h_{\text{сечения}} = \sqrt{\frac{46656 - 5184}{9}}\]
\[h_{\text{сечения}} = \sqrt{\frac{41472}{9}}\]
\[h_{\text{сечения}} = \sqrt{4608}\]
\[h_{\text{сечения}} \approx 67.82 \, \text{см}\]

Итак, расстояние от вершины конуса до сечения составляет примерно 67.82 см.