На каком расстоянии от точки колебаний синусоидального закона, в момент времени t = t/2, смещение точки от положения

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знать некоторые основные принципы синусоидальных волн.

Первым шагом определим формулу для колебательного движения синусоидальной волны. Для этого воспользуемся уравнением синусоидального закона:

\[y = A \sin(\omega t + \phi)\]

Здесь:
- \(y\) - смещение точки от положения равновесия,
- \(A\) - амплитуда колебаний,
- \(\omega\) - угловая скорость колебаний,
- \(t\) - время,
- \(\phi\) - начальная фаза колебаний.

В нашей задаче у нас уже есть информация о периоде колебаний, и мы можем использовать это, чтобы найти угловую скорость:

\[\omega = \frac{{2\pi}}{{T}}\]

где \(T\) - период колебаний.

Теперь, чтобы определить время \(t\), когда смещение точки от положения равновесия составляет половину амплитуды, мы можем использовать следующее уравнение:

\[y = \frac{{A}}{{2}}\]

Подставим это значение в изначальное уравнение и найдём значение \(t\):

\[\frac{{A}}{{2}} = A \sin(\frac{{2\pi t}}{{T}} + \phi)\]

Отсюда мы можем прийти к следующему уравнению:

\[\sin(\frac{{2\pi t}}{{T}} + \phi) = \frac{{1}}{{2}}\]

Теперь, когда у нас есть уравнение, нам нужно найти значение аргумента \(\frac{{2\pi t}}{{T}} + \phi\), для которого синус равен \(\frac{{1}}{{2}}\). Воспользуемся обратной функцией синуса:

\[\frac{{2\pi t}}{{T}} + \phi = \sin^{-1}(\frac{{1}}{{2}})\]

Так как нам дан момент времени \(t = \frac{{T}}{{2}}\), мы можем найти значение начальной фазы:

\[\frac{{2\pi \cdot \frac{{T}}{{2}}}}{{T}} + \phi = \sin^{-1}(\frac{{1}}{{2}})\]

\[\pi + \phi = \sin^{-1}(\frac{{1}}{{2}})\]

\[\phi = \sin^{-1}(\frac{{1}}{{2}}) - \pi\]

Теперь, зная начальную фазу и период, мы можем найти угловую скорость:

\[\omega = \frac{{2\pi}}{{T}}\]

\[\omega = \frac{{2\pi}}{{10^{-3}}}\]

\[\omega = 2000\pi\]

Нам также дана скорость распространения волн, которую мы можем использовать, чтобы определить расстояние от точки колебаний до точки, где смещение равно половине амплитуды. Скорость распространения волн (\(v\)) определяется как произведение длины волны (\(\lambda\)) на частоту (\(f\)):

\[v = \lambda \cdot f\]

Так как у нас есть период колебаний (\(T\)), мы можем использовать формулу для связи периода и частоты:

\[T = \frac{{1}}{{f}}\]

Отсюда получаем:

\[v = \lambda \cdot \frac{{1}}{{T}}\]

\[v = \lambda \cdot \frac{{1}}{{10^{-3}}}\]

\[v = 10^3 \cdot \lambda\]

Теперь мы можем найти длину волны (\(\lambda\)):

\[\lambda = \frac{{v}}{{10^3}}\]

Поскольку мы знаем, что скорость распространения волн (\(v\)) равна 340 м/с, подставляем это значение в формулу:

\[\lambda = \frac{{340}}{{10^3}}\]

\[\lambda = 0.34\]

Наконец, мы можем рассчитать расстояние от точки колебаний до точки, где смещение от положения равновесия составляет половину амплитуды (\(d\)). Расстояние равно половине длины волны:

\[d = \frac{{\lambda}}{{2}}\]

\[d = \frac{{0.34}}{{2}}\]

\[d = 0.17\]

Таким образом, расстояние от точки колебаний до точки, где смещение от положения равновесия составляет половину амплитуды, равно 0.17 м.