Яка маса Марсу у порівнянні з масою Землі, якщо радіус Марсу вдвічі менший за радіус Землі? Як ви можете обчислити

Радіус марсу зазначений як вдвічі менший за радіус землі. Щоб обчислити масу Марсу у порівнянні з масою Землі, ми можемо скористатись формулою гравітаційної сили:

\[ F = G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{r^2}} \]

де F - гравітаційна сила, G - гравітаційна стала, \(m_1\) та \(m_2\) - маси об"єктів, \(r\) - відстань між ними.

Знаючи, що радіус Марсу вдвічі менший за радіус Землі (\(r_{mars} = \frac{1}{2} \cdot r_{earth}\)), ми можемо встановити наступне співвідношення між масами Марсу (\(m_{mars}\)) та Землі (\(m_{earth}\)):

\[ \frac{{m_{mars}}}{{m_{earth}}} = \frac{{F_{mars}}}{{F_{earth}}} \]

Також відомо, що прискорення вільного падіння на Землі (\(g_{earth}\)) становить \(9.8 \, \frac{{м}}{{с^2}}\). Аналогічно можна обчислити прискорення вільного падіння на Марсі (\(g_{mars}\)):

\[ \frac{{g_{mars}}}{{g_{earth}}} = \frac{{F_{mars}}}{{F_{earth}}} \]

Отже, з"єднавши обидва співвідношення, отримаємо:

\[ \frac{{m_{mars}}}{{m_{earth}}} = \frac{{g_{mars}}}{{g_{earth}}} \]

Тепер зафіксуємо значення прискорення вільного падіння на Землі \(g_{earth} = 9.8 \, \frac{{м}}{{с^2}}\) та застосуємо співвідношення з модифікованим значенням радіусу Марсу:

\[ \frac{{m_{mars}}}{{m_{earth}}} = \frac{{g_{mars}}}{{9.8 \, \frac{{м}}{{с^2}}}} = \frac{{G \cdot \frac{{m_{mars} \cdot m_{earth}}}{{r_{mars}^2}}}}{{9.8 \, \frac{{м}}{{с^2}}}} \]

З метою простоти обчислень, можемо позбутися гравітаційної сталої G, розділивши обидві частини рівняння на \(m_{mars}\):

\[ \frac{{1}}{{m_{earth}}} = \frac{{G \cdot m_{earth}}}{{9.8 \cdot r_{mars}^2}} \]

Зі знаходженням \(r_{mars} = \frac{r_{earth}}{2}\), підставимо значення:

\[ \frac{{1}}{{m_{earth}}} = \frac{{G \cdot m_{earth}}}{{9.8 \cdot \left(\frac{r_{earth}}{2}\right)^2}} \]

Після спрощення:

\[ 1 = \frac{{G \cdot m_{earth}}}{{\frac{{9.8 \cdot r_{earth}^2}}{4}}} \]

Помножимо обидві частини на \(\frac{{9.8 \cdot r_{earth}^2}}{4}\) та ділимо на G:

\[ \frac{{9.8 \cdot r_{earth}^2}}{4} = \frac{{G \cdot m_{earth}}}{{\frac{{9.8 \cdot r_{earth}^2}}{4}}} \]

Зведемо до простішого вигляду:

\[ \frac{{9.8 \cdot r_{earth}^2}}{4} = G \cdot m_{earth} \]

Знаючи, що \( G = 6.67430 \times 10^{-11} \, \frac{{м^3}}{{кг \cdot с^2}} \) та \( r_{earth} = 6371 \, км \) (земна радіус), ми можемо обчислити масу Землі \( m_{earth} \):

\[ m_{earth} = \frac{{9.8 \cdot (6371000)^2}}{{4 \cdot 6.67430 \times 10^{-11}}} \]

Після виконання обчислень, отримуємо \(m_{earth} = 5.97 \times 10^{24} \, кг\).

Тепер підставимо значення \( m_{earth} \) у перше рівняння:

\[ \frac{{1}}{{m_{mars}}} = \frac{{G \cdot m_{earth}}}{{9.8 \cdot \left(\frac{{r_{earth}}}{{2}}\right)^2}} \]

\[ \frac{{1}}{{m_{mars}}} = \frac{{6.67430 \times 10^{-11} \cdot 5.97 \times 10^{24}}}{{9.8 \cdot (6371000/2)^2}} \]

Після проведення обчислень, отримуємо \( m_{mars} \approx 0.107 \cdot m_{earth} \).

Таким чином, маса Марсу у порівнянні з масою Землі становить близько 10.7%. Щодо обчислення прискорення вільного падіння на Марсі, ми можемо використати аналогічну формулу:

\[ g_{mars} = \frac{{G \cdot m_{mars}}}{{r_{mars}^2}} \]

Після підстановки відповідних значень, обчислимо:

\[ g_{mars} = \frac{{6.67430 \times 10^{-11} \cdot 0.107 \cdot 5.97 \times 10^{24}}}{{\left(\frac{{6371000}}{{2}}\right)^2}} \]

Після проведення обчислень, отримуємо \( g_{mars} \approx 3.71 \, \frac{{м}}{{с^2}} \).

Отже, прискорення вільного падіння на Марсі становить приблизно 3.71 \(\frac{{м}}{{с^2}}\).