На каком расстоянии от ступней водолаза находятся камни на дне водоема, которые отражены от поверхности воды, если

Показатель преломления воды - это физическая величина, обозначаемая символом \( n \). Для удобства решения задачи давайте обозначим расстояние от ступней водолаза до поверхности воды как \( h \), а расстояние от поверхности воды до камней на дне водоема как \( d \).

Когда световой луч проходит из воздуха в другую среду, например, в воду, он меняет свое направление из-за изменения скорости распространения. Это изменение направления называется преломлением света. Интересно то, что при преломлении света на границе воздух-вода, световой луч может отразиться обратно или полностью проникнуть в воду.

Правило преломления света на границе раздела двух сред формулируется законом Снеллиуса, который утверждает, что отношение синуса угла падения \( \theta_1 \) к синусу угла преломления \( \theta_2 \) равно отношению показателей преломления двух сред:

\[ \frac{{\sin \theta_1}}{{\sin \theta_2}} = \frac{{n_2}}{{n_1}} \]

В данной задаче у нас есть переход от воздуха к воде, поэтому вместо \( n_1 \) будем подставлять единицу, так как показатель преломления воздуха близок к единице. Показатель преломления воды обозначим как \( n_2 \).

Теперь, рассмотрим ситуацию, когда световой луч от водолаза отражается от поверхности воды и доходит до камней на дне водоема. Мы должны найти расстояние \( d \). Для этого давайте разобьем путь светового луча на два отрезка:

1. Расстояние от водолаза до поверхности воды (путь 1).
2. Расстояние от поверхности воды до камней на дне водоема (путь 2).

Путь 1 - это расстояние \( h \), которое мы уже обозначили.

Чтобы найти путь 2, мы должны учитывать отражение. Когда световой луч отражается, он меняет направление, но сохраняет угол относительно вертикали. Поэтому угол падения \( \theta_1 \) равен углу отражения \( \theta_1" \).

Таким образом, чтобы применить закон Снеллиуса для пути 2, мы должны использовать угол отражения \( \theta_1" \) и показатель преломления воды \( n_2 \).

Подставляем значения в закон Снеллиуса:

\[ \frac{{\sin \theta_1}}{{\sin \theta_1"}} = \frac{{1}}{{n_2}} \]

Теперь рассмотрим треугольник, образованный световым лучом, вертикалью и отраженным лучом. Угол между падающим лучом и вертикалью равен углу отражения \( \theta_1" \). Как следствие, угол между падающим лучом и горизонтом равен \( 90^\circ - \theta_1" \). Обозначим этот угол как \( \alpha \).

\[ \alpha = 90^\circ - \theta_1" \]

Теперь введем дополнительное обозначение \( \theta_2" \), обозначающее угол между отраженным лучом и вертикалью. Угол \( \theta_2" \) равен углу преломления \( \theta_2 \).

Используя эти обозначения, закон Снеллиуса для пути 2 можно записать следующим образом:

\[ \frac{{\sin \theta_1"}}{{\sin \theta_2"}} = \frac{{1}}{{n_2}} \]

Требуется найти \( d \), расстояние от поверхности воды до камней на дне водоема. Обратим внимание, что треугольник, образованный световым лучом, горизонтом и расстоянием \( d \), является прямоугольным.

Так как мы знаем два угла этого треугольника (\( \alpha \) и \( 90^\circ \)), мы можем найти третий угол как сумму двух известных углов.

Угол между световым лучом и горизонтом также должен равняться сумме углов \( \theta_2" \) и \( \alpha \).

\[ \theta_2 = \theta_2" + \alpha \]

Таким образом, мы нашли связь между углом преломления и углом отражения \( \theta_1" \).

Теперь вводим обозначение \( \beta \) как угол между световым лучом и горизонтом.

\[ \beta = \theta_2" + \alpha \]

Так как треугольник прямоугольный и сумма углов в нем равна \( 180^\circ \), мы можем найти угол \( \beta \):

\[ \beta + \theta_1" + 90^\circ = 180^\circ \]

\[ \beta = 90^\circ - \theta_1" \]

Теперь у нас есть два выражения для \( \beta \):

\[ \beta = 90^\circ - \theta_1" \]

\[ \beta = \theta_2" + \alpha \]

Приравнивая эти два выражения друг к другу, получаем:

\[ 90^\circ - \theta_1" = \theta_2" + \alpha \]

Теперь, используя полученное равенство, мы можем записать закон Снеллиуса для пути 2:

\[ \frac{{\sin \theta_1"}}{{\sin (90^\circ - \theta_1")}} = \frac{{1}}{{n_2}} \]

Когда мы вычислим значение \( \theta_1" \), мы сможем найти угол \( \theta_2 \) и, следовательно, найти синус этого угла.

Теперь, чтобы найти расстояние от поверхности воды до камней на дне водоема \( d \), мы можем использовать тригонометрию. В прямоугольном треугольнике, образованном расстоянием \( d \), \( h \) и углом \( \theta_2 \), мы можем использовать тангенс угла \( \theta_2 \):

\[ \tan \theta_2 = \frac{{d}}{{h}} \]

Отсюда мы можем выразить расстояние \( d \):

\[ d = h \cdot \tan \theta_2 \]

Осталось только решить уравнение и найти искомую величину \( d \).

Вот весь путь решения этой задачи. Надеюсь, объяснение было понятным и полезным. Если у вас возникли еще вопросы, обращайтесь!