На каком расстоянии от линзы будет площадь светового пятна на экране, равная 109 см², когда пучок света диаметром

Для решения этой задачи используем формулу линзы:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}\]

где \(f\) - фокусное расстояние линзы, \(d_o\) - расстояние от предмета до линзы, \(d_i\) - расстояние от линзы до изображения.

В данной задаче у нас есть фокусное расстояние линзы (\(f = 26 \, \text{см}\)), диаметр пучка света (\(D = 5.4 \, \text{см}\)) на входе и площадь светового пятна (\(A = 109 \, \text{см}^2\)) на выходе.

Сначала найдем радиус пучка света:

\[r = \frac{D}{2} = \frac{5.4}{2} = 2.7 \, \text{см}\]

Затем найдем диаметр пятна, создаваемого этим пучком света на экране. Поскольку площадь пятна равна \(A = 109 \, \text{см}^2\), площадь круга можно найти по формуле:

\[A_{\text{кр}} = \pi \cdot r^2\]

или

\[A_{\text{кр}} = \pi \cdot \left(\frac{D}{2}\right)^2\]

Подставляем известные значения:

\[109 = \pi \cdot \left(\frac{5.4}{2}\right)^2\]

Далее, используя известное фокусное расстояние линзы (\(f = 26 \, \text{см}\)), мы можем найти диаметр пятна на экране (\(D_{\text{экр}}\)) по формуле линзы:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}\]

Поскольку пятно формируется на экране, удаленном от линзы (\(d_i\)), а расстояние от линзы до предмета (\(d_o\)) равно \(d_o = d_i - f\), мы можем переписать формулу линзы следующим образом:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_o + f}\]

Подставляем известные значения:

\[\frac{1}{26} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_o + 26}\]

Решая это уравнение, мы найдем значение \(d_o\). Теперь остается только найти расстояние от линзы до пятна на экране, используя теорему Пифагора:

\[d = \sqrt{d_o^2 + f^2}\]

Подставляем найденное значение \(d_o\) и известное фокусное расстояние \(f\):

\[d = \sqrt{d_o^2 + 26^2}\]

Выполняя все эти вычисления, получим окончательный ответ, округленный до целого числа, как требуется в задаче.