На каком интервале функция f(x)=x4 возрастает, используя свойства функций: (−∞;0] (0;0) [−∞;+∞] [0;+∞

Очень рад помочь вам разобраться с задачей!

Для того, чтобы определить интервалы, на которых функция \(f(x) = x^4\) возрастает, нам необходимо проанализировать ее производную. Возрастание функции связано с положительным значением производной.

Давайте сначала найдем производную функции \(f(x)\). Используя степенное правило, производная будет равна:
\[f"(x) = 4x^{4-1} = 4x^3\]

Теперь нам нужно найти значения \(x\), при которых производная положительна. Решим уравнение \(f"(x) > 0\).

\[4x^3 > 0\]

Поскольку коэффициент перед \(x^3\) положительный (\(4 > 0\)), то неравенство останется без изменений. Рассмотрим несколько случаев:

1. Когда \(x > 0\): Здесь нам необходимо, чтобы \(x\), возведенное в любую степень (в данном случае в нечетную степень), оставалось положительным значением. То есть, \(x^3 > 0\). При таком условии производная \(f"(x)\) будет положительной. То есть, функция \(f(x) = x^4\) возрастает на интервале \((0; +\infty)\).

2. Когда \(x < 0\): В этом случае нам нужно, чтобы \(x^3 < 0\). Однако, возведение \(x\) в нечетную степень дает отрицательное значение только при \(x < 0\). Таким образом, производная \(f"(x)\) будет отрицательной, и функция \(f(x) = x^4\) не будет возрастать на интервале \((-\infty; 0)\).

3. Когда \(x = 0\): Здесь мы имеем особую точку, которая не входит ни в один из интервалов. В этой точке функция имеет точку экстремума (минимума), а не возрастает, поэтому мы не включаем ее в ответ.

Таким образом, функция \(f(x) = x^4\) возрастает на интервале \((0; +\infty)\).