Какова вероятность того, что при броске игральной кости 7 раз, мы получим ровно одну пятёрку

Для решения этой задачи, давайте разобьем ее на несколько шагов.

Шаг 1: Рассмотрим вероятность получить одну "пятёрку" при одном броске игральной кости. Всего у нас есть 6 возможных исходов (выпадение чисел от 1 до 6), и из них только один исход соответствует выпадению "пятёрки". Поэтому вероятность получить "пятёрку" при одном броске равна 1/6.

Шаг 2: Используя полученную вероятность, рассмотрим событие, при котором мы получаем ровно одну "пятёрку" при броске игральной кости 7 раз. Мы можем выбрать любое из 7 бросков и получить "пятёрку", а остальные 6 бросков выйдут не "пятёркой". Вероятность получить одну "пятёрку" и шесть не "пятёрок" при семи бросках составляет:

\[\left(\frac{1}{6}\right)^1 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^6\]

Пояснение: Вероятность получить "пятёрку" в выбранном броске равна \(\frac{1}{6}\), и вероятность получить не "пятёрку" равна \(\frac{5}{6}\). У нас есть 7 бросков, поэтому мы умножаем эти вероятности 7 раз. Это основано на свойстве независимых событий.

Шаг 3: Теперь, когда мы знаем вероятность получить одну "пятёрку" и шесть не "пятёрок" при семи бросках, мы можем рассчитать итоговую вероятность, умножив их вероятность на количество способов, которыми мы можем получить ровно одну "пятёрку" при семи бросках.

Количество способов получить ровно одну "пятёрку" при семи бросках можно вычислить по формуле сочетаний:

\[C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

где \(n\) - общее количество бросков (7 в нашем случае), а \(k\) - количество "пятёрок" (1 в нашем случае). Подставляя значения, получаем:

\[C(7, 1) = \frac{7!}{1!(7-1)!} = \frac{7!}{1! \cdot 6!} = 7\]

Таким образом, количество способов получить ровно одну "пятёрку" при семи бросках равно 7.

Итоговая вероятность равна произведению вероятности получить одну "пятёрку" и шесть не "пятёрок" при семи бросках и количества способов, которыми мы можем получить этот результат:

Вероятность = \(\left(\frac{1}{6}\right)^1 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^6 \cdot 7\)

Таким образом, мы можем рассчитать вероятность получить ровно одну "пятёрку" при 7 бросках игральной кости.