На какое количество способов можно разделить группу из 20 студентов на 3 бригады, где первая бригада состоит

Чтобы найти количество способов разделить группу из 20 студентов на 3 бригады с заданным числом людей в каждой бригаде, мы можем использовать комбинаторные методы.

Пусть первая бригада состоит из 3 студентов, вторая - из 5 студентов, а третья - из 12 студентов. Давайте рассмотрим различные этапы решения задачи:

Шаг 1: Выбор студентов для первой бригады
Мы должны выбрать 3 студента для первой бригады из общего числа студентов, а это можно сделать по формуле сочетаний \(C(n, k)\), где \(n\) - общее число студентов, а \(k\) - количество студентов в первой бригаде. В данном случае, нам нужно выбрать 3 студента из 20, так что:

\[C(20, 3) = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20!}{3!17!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 1140.\]

Таким образом, у нас есть 1140 способов выбрать студентов для первой бригады.

Шаг 2: Выбор студентов для второй бригады
Для второй бригады нам нужно выбрать 5 студентов из оставшихся 17 студентов (после выделения первой бригады). Это также можно сделать с помощью формулы сочетаний:

\[C(17, 5) = \frac{17!}{5!(17-5)!} = \frac{17!}{5!12!} = \frac{17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 6188.\]

Таким образом, у нас есть 6188 способов выбора студентов для второй бригады.

Шаг 3: Остаток для третьей бригады
Оставшиеся студенты идут автоматически в третью бригаду, поскольку третья бригада должна включать всех оставшихся студентов. В данном случае, нам остается 12 студентов для третьей бригады.

Шаг 4: Общее количество способов
Теперь, умножим количество способов выбора студентов для каждой бригады:

Общее количество способов = 1140 способов для первой бригады \(\times\) 6188 способов для второй бригады \(\times\) 1 способ для третьей бригады = 7,045,520.

Итак, существует 7,045,520 способов разделить группу из 20 студентов на 3 бригады, соответствующие условиям задачи.