На какие значения можно разрезать квадрат со стороной 75 мм на три прямоугольника таким образом, чтобы периметр одного

Давайте решим задачу по порядку.

Пусть длина одного из прямоугольников равна \( x \) мм, а ширина равна \( y \) мм. Также пусть длина второго прямоугольника равна \( a \) мм, а ширина равна \( b \) мм.

Тогда, учитывая, что сторона квадрата составляет 75 мм, периметр каждого прямоугольника можно выразить следующим образом:

Периметр первого прямоугольника: \( P_1 = 2(x + y) \) (1)
Периметр второго прямоугольника: \( P_2 = 2(a + b) \) (2)
Периметр квадрата: \( P_{\text{квадрата}} = 4 \cdot 75 \) (3)

Мы знаем, что периметр одного из прямоугольников должен быть вдвое меньше суммы периметров двух других, то есть:

\( P_1 = \frac{1}{2} (P_2 + P_{\text{квадрата}}) \) (4)

Подставляем выражения для \( P_1 \), \( P_2 \) и \( P_{\text{квадрата}} \) из (1), (2) и (3) в (4):

\( 2(x + y) = \frac{1}{2} (2(a + b) + 4 \cdot 75) \)

Упрощаем:

\( 2(x + y) = a + b + 300 \)

\( x + y = \frac{1}{2} (a + b) + 150 \) (5)

Кроме того, нам известно, что сторона квадрата равна 75 мм. Это означает, что \( x + y + a + b = 75 \) (6).

Теперь у нас есть два уравнения: (5) и (6). Мы можем использовать их для определения возможных значений \( x \), \( y \), \( a \) и \( b \).

Итак, давайте перепишем (5) и (6):

\( y = \frac{1}{2} (a + b) + 150 - x \) (7)
\( x + a + b = 75 \) (8)

Мы можем предположить значения для \( x \) и решить систему уравнений (7) и (8), чтобы найти соответствующие значения \( y \), \( a \) и \( b \).

Допустим, пусть \( x = 20 \) мм. Подставляем это значение в (8):

\( 20 + a + b = 75 \)

Теперь мы можем использовать это уравнение, чтобы выразить одну из переменных в терминах другой. Например, можно выразить \( b \) через \( a \):

\( b = 75 - a - 20 \)

Затем, подставляем это значение в (7):

\( y = \frac{1}{2} (a + (75 - a - 20)) + 150 - 20 \)

Упрощаем:

\( y = \frac{1}{2} (55 - a) + 130 \) (9)

Итак, мы получили выражения для двух переменных \( y \) и \( b \) в терминах переменной \( a \) (с учетом того, что \( x = 20 \)). Теперь, путем подстановки различных значений для \( a \), мы можем определить соответствующие значения \( y \) и \( b \).

Например, если \( a = 10 \), подставляем это значение в (9):

\( y = \frac{1}{2} (55 - 10) + 130 \)

\( y = 95 + 130 \)

\( y = 225 \)

Таким образом, для \( a = 10 \) получаем \( y = 225 \) и \( b = 75 - a - x = 75 - 10 - 20 = 45 \). Таким образом, значения прямоугольников будут следующими:

Прямоугольник 1: \( x = 20 \) мм, \( y = 225 \) мм
Прямоугольник 2: \( a = 10 \) мм, \( b = 45 \) мм
Прямоугольник 3 (квадрат): Сторона составляет 75 мм

Теперь нам нужно представить ответ в сантиметрах, учитывая, что 1 мм = 0.1 см. Переводим значения в сантиметры:

Прямоугольник 1: \( x = 2 \) см, \( y = 22.5 \) см
Прямоугольник 2: \( a = 1 \) см, \( b = 4.5 \) см
Прямоугольник 3 (квадрат): Сторона составляет 7.5 см

Итак, мы можем разрезать квадрат со стороной 75 мм на три прямоугольника следующим образом:

Прямоугольник 1: 2 см х 22.5 см
Прямоугольник 2: 1 см х 4.5 см
Прямоугольник 3 (квадрат): 7.5 см x 7.5 см

Периметр прямоугольника 1 равен:

\( P_1 = 2(x + y) = 2(2 + 22.5) = 2 \cdot 24.5 = 49 \) см (ответ)