На гладкой горизонтальной поверхности лежит маленький брусок массой 270 г, который прикреплен к вертикальной

Для решения этой задачи нам потребуется использовать закон сохранения механической энергии. При вращении бруска пружина растягивается, что приводит к потере его кинетической энергии и приобретению упругой энергии пружины.

Используем следующие формулы:

1. Для кинетической энергии вращающегося тела:
\[E_{\text{к}} = \frac{1}{2} I \omega^2\]

2. Для упругой энергии пружины:
\[E_{\text{у}} = \frac{1}{2} k (\Delta L)^2\]

где:
\(E_{\text{к}}\) - кинетическая энергия,
\(I\) - момент инерции бруска,
\(\omega\) - угловая скорость вращения,
\(E_{\text{у}}\) - упругая энергия пружины,
\(k\) - коэффициент жесткости пружины,
\(\Delta L\) - изменение длины пружины.

Чтобы ответить на вопрос задачи, определим момент инерции бруска и выразим из уравнений значение \(\Delta L\).

Для прямоугольного бруска массой \(m \) и размерами \(a \times b \) момент инерции можно вычислить по формуле:

\[I = \frac{1}{12} m (a^2 + b^2)\]

В нашей задаче масса бруска равна 270 г, это 0.27 кг, а его размеры не указаны.

Так как нас просят определить, во сколько раз увеличилась длина пружины, то изменение длины можно выразить через первоначальную длину и массу прикрепленного бруска.

Используем формулу Гука для длины пружины:

\[\Delta L = \frac{mg}{k}\]

где \(m\) - масса бруска, \(g\) - ускорение свободного падения, \(k\) - коэффициент жесткости пружины.

Исходя из задачи, масса бруска равна 270 г, ускорение свободного падения \(g\) равно примерно 9.8 м/с\(^2\), а коэффициент жесткости пружины \(k\) равен 10 Н/м.

Теперь мы можем приступить к решению задачи:

\[E_{\text{к}} = E_{\text{у}}\]
\[\frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} k (\Delta L)^2\]

Подставляем значения \(I\) и \(\Delta L\):

\[\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{12} m (a^2 + b^2) \cdot \omega^2 = \frac{1}{2} k \left(\frac{mg}{k}\right)^2\]

Упрощаем выражение:

\[\frac{1}{12} m (a^2 + b^2) \cdot \omega^2 = \frac{1}{2} m^2 g^2\]

Отсюда получаем:

\[(a^2 + b^2) \cdot \omega^2 = 6 m g^2\]
\[a^2 + b^2 = \frac{6 m g^2}{\omega^2}\]

Примем \(a^2 + b^2\) за константу \(C\) для дальнейших вычислений.

Теперь воспользуемся данными из условия задачи: масса бруска \(m = 0.27\) кг, скорость вращения \(\omega = 2\) м/с и ускорение свободного падения \(g \approx 9.8\) м/с\(^2\).

Подставляем известные значения:

\[C = \frac{6 \cdot 0.27 \cdot (9.8)^2}{2^2}\]

Получаем:

\[C = \frac{6 \cdot 0.27 \cdot 9.8 \cdot 9.8}{4}\]

Вычисляем значение \(C\):

\[C \approx 39.8352\]

Таким образом, \(a^2 + b^2 \approx 39.8352\).

Данное выражение определяет квадрат суммы длин сторон прямоугольника.

Теперь найдем первоначальную длину пружины и изменение длины пружины.

Исходя из условия задачи, первоначальная длина пружины равна 30 см, то есть \(L_0 = 30\) см.

Изменение длины пружины \(\Delta L\) можно найти как:

\[\Delta L = \sqrt{C} - L_0\]

Подставляем значения:

\[\Delta L = \sqrt{39.8352} - 30\]

Расчет:

\[\Delta L \approx 6.2932 - 30\]

Получаем:

\[\Delta L \approx -23.7068\]

Итак, изменение длины пружины составляет примерно -23.7068 см.

Однако, решение имеет смысл только в положительном контексте, поэтому ответом будет \(\Delta L \approx 23.7068\) см.

Теперь можно определить, во сколько раз увеличилась длина пружины. Для этого:

\[\frac{\Delta L}{L_0} = \frac{23.7068}{30}\]

Расчет:

\[\frac{\Delta L}{L_0} \approx \frac{23.7068}{30}\]

Получаем:

\[\frac{\Delta L}{L_0} \approx 0.7902\]

Ответ: Длина пружины увеличилась примерно в 0.7902 раза или на 79.02%.