Как движется материальная точка вдоль оси x в соответствии с показанным на рисунке изменением проекции ее скорости

а) Закон движения точки можно выразить с помощью уравнения прямой. Мы знаем, что в начальный момент времени \( t_0 = 0 \) координата точки равна \( x_0 = -1 \) м.

По заданному изменению проекции скорости со временем видно, что скорость точки увеличивается с постоянным ускорением в положительном направлении оси \( x \). Такое движение удовлетворяет уравнению \( v = v_0 + at \), где \( v \) - скорость в момент времени \( t \), \( v_0 \) - начальная скорость точки, \( a \) - постоянное ускорение, \( t \) - время.

Для нашей задачи начальную скорость можно определить, зная, что в начальный момент времени скорость равна 0 м/с. Тогда \( v_0 = 0 \) м/с. Постоянное ускорение \( a \) можно найти, разделив изменение проекции скорости на изменение времени: \( a = \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}} \).

На основании показанного на рисунке графика, можно определить, что изменение проекции скорости равно \( \Delta v = 2 \) м/с. Изменение времени равно \( \Delta t = 2 \) сек.

Теперь мы можем подставить известные значения в уравнение скорости и найти ускорение:
\[ a = \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}} = \frac{{2 \, \text{м/с}}}{{2 \, \text{с}}} = 1 \, \text{м/с}^2 \]

Таким образом, закон движения точки можно записать как:
\[ v = v_0 + at \]
\[ v = 0 + 1t \]
\[ v = t \]

б) Чтобы найти значения перемещения \( s \) и пути \( l \) точки за первые \( t_1 = 2 \) секунды, мы должны решить задачу о нахождении площади под графиком скорости от начального момента времени до \( t = t_1 \)

Так как закон движения представлен линейной функцией \( v = t \), график будет являться прямой линией, и площадь под графиком будет равна площади треугольника.

Для нахождения площади треугольника мы используем формулу:
\[ s = \frac{{b \cdot h}}{2} \]
где \( s \) - площадь треугольника, \( b \) - основание треугольника (время), \( h \) - высота треугольника (скорость).

Основание треугольника равно \( b = t_1 = 2 \) сек, а высота треугольника равна \( h = v(t_1) = t_1 = 2 \) м/с.

Таким образом, значения перемещения \( s \) и пути \( l \) точки за первые \( t_1 = 2 \) секунды движения равны:
\[ s = \frac{{b \cdot h}}{2} = \frac{{2 \, \text{с} \cdot 2 \, \text{м/с}}}{2} = 2 \, \text{м} \]
\[ l = |s| = 2 \, \text{м} \]

в) Для определения значений проекции средней скорости и средней путивой скорости точки за все время движения, мы должны использовать следующие формулы:

Средняя скорость \( \overline{v} \) определяется как отношение перемещения \( s \) к интервалу времени \( t \):
\[ \overline{v} = \frac{{s}}{{t}} \]

Средняя путивая скорость \( \overline{v_p} \) определяется как отношение пути \( l \) к интервалу времени \( t \):
\[ \overline{v_p} = \frac{{l}}{{t}} \]

Так как интервал времени \( t \) для всего движения не указан в задаче, мы используем обозначение \( t \) для обозначения полного времени движения точки.

Таким образом, значения проекции средней скорости и средней путивой скорости точки за все время движения равны:
\[ \overline{v} = \frac{{s}}{{t}} = \frac{{2 \, \text{м}}}{t} \]
\[ \overline{v_p} = \frac{{l}}{{t}} = \frac{{2 \, \text{м}}}{t} \]