На доске с отсутствующими клетками в серой зоне, жук находится на одной из клеток. Если жук может перемещаться

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать понятие эйлерова цикла. Эйлеров цикл в неориентированном графе называется замкнутый путь, проходящий через все ребра этого графа ровно один раз.

Поскольку каждая клетка на доске представляет собой вершину графа, а перемещение жука между клетками - ребро, нам нужно найти такой граф, в котором каждая вершина имеет одинаковую степень (т.е. количество ребер, связанных с данной вершиной).

Прежде всего, заметим, что наш граф является четырехугольной решеткой, в которой некоторые клетки отсутствуют.

Однако, чтобы найти требуемые доски, мы должны выполнить два важных условия:

1) Все вершины графа, за исключением, возможно, двух, должны иметь четную степень. Если две вершины имеют нечетную степень, то граф является графом с Эйлеровым путем, а не циклом. В нашем случае, так как жук должен посетить все клетки ровно один раз, нам нужно, чтобы все вершины (кроме, возможно, двух) имели четную степень.

2) Чтобы наш граф был связным (т.е. от любой вершины можно добраться до любой другой вершины), необходимо, чтобы все клетки с отсутствующими соседями были частью границы доски.

Теперь давайте рассмотрим несколько примеров:

- Если все клетки на доске существуют и нет никаких отсутствующих клеток, то поскольку каждая клетка имеет четырех соседей, оба условия выполняются, и жук сможет посетить каждую клетку ровно один раз. Значит, в этом случае существует такая доска.

- Если на доске отсутствует только одна клетка в серой зоне, то эта клетка является единственной вершиной графа с нечетной степенью. В таком случае, условие четности степени вершин не выполняется, поэтому жук не сможет посетить каждую клетку ровно один раз. Значит, в этом случае такой доски не существует.

- Если на доске отсутствует две или более клеток в серой зоне, то снова не выполняется условие четности степени вершин и каждая из этих клеток будет являться вершиной с нечетной степенью. В этом случае также невозможно посетить каждую клетку ровно один раз. Значит, такой доски не существует.

Таким образом, чтобы жук смог посетить каждую клетку доски ровно один раз, необходимо, чтобы в серой зоне отсутствовали две клетки или больше.