На доске написано несколько дробей с числителем, равным 1, и натуральным знаменателем. Сумма этих дробей равна

Данная задача имеет свою специфику, поэтому ответим на нее пошагово, чтобы все было ясно и понятно.

Пусть имеется \( n \) дробей с числителем, равным 1, и натуральными знаменателями. По условию, сумма всех этих дробей равна 1:

\[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} + \ldots + \frac{1}{x_n} = 1 \]

Также известно, что одна из этих дробей равна \( \frac{1}{43} \):

\[ \frac{1}{x_k} = \frac{1}{43} \]

Если мы заменим \( x_k \) на 43 в уравнении для суммы дробей, получим:

\[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} + \ldots + \frac{1}{x_{k-1}} + \frac{1}{43} + \frac{1}{x_{k+1}} + \ldots + \frac{1}{x_n} = 1 \]

Теперь мы можем перейти к решению задачи.

Для начала заметим, что все знаменатели \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) должны быть различными натуральными числами. Если два или более знаменателя будут одинаковыми, то невозможно получить разные дроби с числителем 1 и суммой 1.

Рассмотрим случай, когда у нас есть только одна дробь с знаменателем \( x_k \), равным 43. В этом случае сумма всех остальных дробей равна \( 1 - \frac{1}{43} \). Заметим, что это число является натуральной дробью, так как 1 и \( \frac{1}{43} \) — натуральные дроби. Рассмотрим возможные значения для остальных знаменателей. Чтобы сумма была равна \( 1 - \frac{1}{43} \), каждый знаменатель должен быть делителем числа 42. Таким образом, нам доступны следующие знаменатели: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 и 42. В данном случае может быть написана минимум одна дробь.

Теперь рассмотрим случай, когда у нас есть две дроби с знаменателями \( x_k \) и \( x_m \), равными 43. В этом случае сумма всех остальных дробей равна \( 1 - \frac{1}{43} - \frac{1}{43} = 1 - \frac{2}{43} \). Аналогично предыдущему случаю, это число является натуральной дробью. Разложим \( 1 - \frac{2}{43} \) на простые дроби:

\[ 1 - \frac{2}{43} = \frac{41}{43} \]

В данном случае сумма всех остальных дробей равна \( \frac{41}{43} \), поэтому остальные знаменатели должны быть делителями числа 42, исключая 43. Из предыдущего случая мы уже знаем доступные знаменатели: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 и 42. В данном случае может быть написано минимум две дроби.

Продолжая аналогично для трех дробей с знаменателями 43, получаем:

\[ 1 - \frac{3}{43} = \frac{40}{43} \]

Сумма всех остальных дробей равна \( \frac{40}{43} \). Оставшиеся знаменатели должны быть делителями числа 42, исключая 43. По-прежнему доступны знаменатели: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 и 42. В данном случае может быть написано минимум три дроби.

Мы видим, что при каждой дополнительной дроби с знаменателем 43, сумма всех остальных дробей уменьшается на \( \frac{1}{43} \), и разрешенные знаменатели остаются неизменными. Таким образом, количество дробей, которые могут быть написаны, равно количеству делителей числа 42, исключая 43.

Теперь найдем все делители числа 42, исключая 43:

1 делит 42
2 делит 42
3 делит 42
6 делит 42
7 делит 42
14 делит 42
21 делит 42
42 делит 42

Итак, всего есть 8 делителей числа 42, исключая 43. Значит, минимальное количество дробей, которые могут быть написаны, равно 8.