Какова сумма всех значения n, для которых n^4 - 27n^2 + 121 является простым числом? Если таких значений n нет

Давайте рассмотрим данную задачу пошагово.

Для того чтобы узнать, какие значения n делают выражение \(n^4 - 27n^2 + 121\) простым числом, мы сначала проверим, могут ли некоторые значения возводиться в степень 4. Возведение в степень 4 является более "сильным" действием, чем возведение в квадрат, поэтому у нас есть шанс получить простое число.

Давайте начнем с простых значений n и будем проверять, является ли выражение \(n^4 - 27n^2 + 121\) простым числом.

- Проверим значение n = 0: \(0^4 - 27 \cdot 0^2 + 121 = 121\). Значение 121 не является простым числом, поэтому это значение n нам не подходит.

- Проверим значение n = 1: \(1^4 - 27 \cdot 1^2 + 121 = 95\). Значение 95 также не является простым числом.

- Проверим значение n = 2: \(2^4 - 27 \cdot 2^2 + 121 = 81\). Значение 81 также не является простым числом.

- Продолжая таким образом, мы можем протестировать несколько других значений, но вскоре поймем, что никакие значения n не дают нам простое число.
Мы можем доказать это, проанализировав само выражение: \(n^4 - 27n^2 + 121\).
Заметим, что это выражение можно факторизовать в виде \((n^2 - 11)^2\). То есть, \(n^4 - 27n^2 + 121 = (n^2 - 11)^2\).

Из этого факта следует, что данное выражение всегда будет являться квадратом некоторого числа \((n^2 - 11)\).
А квадрат любого целого числа изначально не является простым числом, кроме случая, когда это число равно 1 или -1.

Таким образом, мы можем заключить, что нет таких значений n, для которых \(n^4 - 27n^2 + 121\) является простым числом.

Ответ: Нет таких значений n.