На доске имеется 54 уникальных целых числа. Каждое число было возведено в квадрат или куб, и результат заменил исходное

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Предположим, что минимальное количество уникальных чисел на доске равно \( n \). Каждое число на доске либо является квадратом другого числа, либо кубом.

Для того чтобы получить \( n \) уникальных чисел, мы можем взять квадраты чисел от 1 до \( n \). Таким образом, у нас будет \( n \) уникальных чисел, которые являются квадратами.

Но это еще не все. Давайте посмотрим, сколько уникальных чисел мы можем получить, возведя некоторые числа в куб.

Возьмем кубы чисел от 1 до \( n \). Мы уже использовали \( n \) чисел, являющихся квадратами, поэтому нам нужно найти дополнительные уникальные числа, которые являются кубами.

Максимальное значение куба числа от 1 до \( n \) будет \( n^3 \). Значит, нам нужно найти, сколько чисел-кубов мы можем получить в диапазоне от \( n+1 \) до \( n^3 \).

Количество уникальных чисел-кубов можно найти, вычтя \( n \) из \( n^3 \):

\[
n^3 - n
\]

Теперь мы можем сложить количество уникальных квадратов и количество уникальных кубов, чтобы найти общее количество уникальных чисел:

\[
n + (n^3 - n)
\]

Получается, что минимальное количество уникальных чисел на доске равно:

\[
n + (n^3 - n)
\]

Это можно упростить, объединив подобные члены:

\[
n^3
\]

Таким образом, ответ на задачу составляет \( n^3 \) минимальное количество уникальных чисел, которые могут быть записаны на доске.

Если вам нужно узнать точное числовое значение, то нам нужно решить уравнение \( n^3 = 54 \). Решением этого уравнения будет \( n = 3 \).

Таким образом, минимальное количество уникальных чисел на доске составляет 27.