На данном интервале, какие значения являются максимальными и минимальными для функции y = 1 - x^4 + x^5?

Для решения этой задачи нам нужно найти экстремумы функции \(y = 1 - x^4 + x^5\) на заданном интервале.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\). Для этого возьмем производную каждого члена по отдельности по правилу производной суммы и разности функций:

\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}}(1 - x^4 + x^5) = \frac{{d}}{{dx}}1 - \frac{{d}}{{dx}}x^4 + \frac{{d}}{{dx}}x^5\]

Шаг 2: Проделаем производные каждого члена функции:

\[\frac{{dy}}{{dx}} = 0 - 4x^3 + 5x^4\]

Шаг 3: Найдем точки, в которых производная равна нулю, и анализируем значения функции в этих точках.

Для этого приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

\[0 - 4x^3 + 5x^4 = 0\]

Можем вынести x^3 за скобки:

\[x^3(5x - 4) = 0\]

Отсюда получаем два возможных значения x:

1) \(x = 0\)

2) \(5x - 4 = 0 \Rightarrow 5x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{5}\)

Шаг 4: Чтобы определить, является ли эти значения максимальными или минимальными, исследуем знак производной функции в окрестностях найденных точек.

Значение производной на интервале между \(-\infty\) и \(\frac{4}{5}\) (т.е. при \(x < \frac{4}{5}\)) определяется знаком каждого из слагаемых, поскольку они все положительны. Таким образом, функция возрастает на этом интервале.

В точке \(x = \frac{4}{5}\) функция имеет глобальный минимум, так как слагаемое \(-4x^3\) обращается в ноль, а слагаемое \(5x^4\) положительно и маленькое. Поэтому в точке \(x = \frac{4}{5}\) функция достигает своего минимального значения.

Значение производной на интервале между \(\frac{4}{5}\) и \(+\infty\) (т.е. при \(x > \frac{4}{5}\)) снова определяется слагаемыми. Заметим, что слагаемое \(5x^4\) теперь будет отрицательным, тогда как слагаемое \(-4x^3\) будет положительным. Таким образом, функция убывает на этом интервале.

Шаг 5: Ответом на задачу являются значения функции \(y\) на интервале \((-\infty, 0)\), в точке \(x = 0\) и на интервале \((0, \frac{4}{5})\) являются максимальными значениями функции, а значение функции \(y\) в точке \(x = \frac{4}{5}\) является минимальным значением функции.