На что можно разделить кинетическую энергию маятника, который совершает гармонические колебания, чтобы получить

Для понимания отношения кинетической энергии маятника, который совершает гармонические колебания, необходимо рассмотреть формулу для кинетической энергии и выразить её через известные величины.

Кинетическая энергия маятника в данном случае зависит от его массы \( m \) и скорости \( v \) и определяется формулой:

\[ E_k = \frac{1}{2} m v^2 \]

Теперь рассмотрим кинетическую энергию маятника на разных стадиях его колебаний.

1. В амплитудной точке. В данной точке скорость маятника максимальна, а его смещение от положения равновесия тождественно нулю. Таким образом, если обозначить амплитуду колебаний как \( A \), то скорость можно определить как \( v_1 = A \omega \), где \( \omega \) - круговая частота, аналогичная идеальному круговому движению. Тогда кинетическая энергия в амплитудной точке будет:

\[ E_{k1} = \frac{1}{2} m (A \omega)^2 = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \]

2. В положении равновесия (средней точке). В данной точке скорость маятника равна нулю, но его масса движется со значительной скоростью. Используя простую формулу для колебательного движения маятника, можно выразить скорость в этой точке:

\[ v_2 = \omega \sqrt{A^2 - x^2} \]

где \( x \) - текущее смещение от положения равновесия. Таким образом, кинетическая энергия в положении равновесия будет:

\[ E_{k2} = \frac{1}{2} m (\omega \sqrt{A^2 - x^2})^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2) \]

3. В произвольной точке. Общая формула для колебательного движения маятника, где \( x \) - текущее смещение, будет:

\[ v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} \]

Таким образом, кинетическая энергия в этой точке будет:

\[ E_k = \frac{1}{2} m (\omega \sqrt{A^2 - x^2})^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2) \]

Теперь, чтобы получить отношение кинетической энергии маятника в разных точках, мы можем поделить выражение для кинетической энергии в произвольной точке на кинетическую энергию в амплитудной точке:

\[ \frac{E_k}{E_{k1}} = \frac{\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)}{\frac{1}{2} m A^2 \omega^2} = \frac{A^2 - x^2}{A^2} \]

Таким образом, получено отношение кинетической энергии маятника в произвольной точке к его кинетической энергии в амплитудной точке:

\[ \frac{E_k}{E_{k1}} = \frac{A^2 - x^2}{A^2} \]

Это отношение позволяет понять, как изменяется кинетическая энергия маятника на разных стадиях его колебаний.