Чему равен параметр a в нормальном законе распределения случайной величины z с известным параметром σ

Для начала, давайте разберемся с определением нормального закона распределения. Нормальное (или гауссовское) распределение является одним из самых важных распределений в статистике. Оно описывает множество случайных переменных, таких как рост, вес, IQ и другие, которые обычно распределены симметрично вокруг среднего значения.

Нормальное распределение описывается двумя параметрами: средним значением \(\mu\) и стандартным отклонением \(\sigma\). В данной задаче, мы знаем только значение стандартного отклонения \(\sigma = \frac{7}{5} = 1.4\).

Теперь, чтобы найти параметр \(a\), нам нужно использовать функцию распределения стандартной нормальной случайной величины. Функция распределения обычно обозначается как \(\Phi(x)\), где \(x\) - значение случайной величины. Она показывает вероятность того, что значение случайной величины будет меньше или равно \(x\).

Затем мы можем использовать свойство нормального распределения, известное как стандартизация. При стандартизации, мы преобразуем случайную величину \(z\) в стандартную нормальную переменную \(Z\) с параметрами \(\mu = 0\) и \(\sigma = 1\). Это делается с помощью следующей формулы:

\[Z = \frac{z - \mu}{\sigma}\]

В данной задаче, чтобы найти параметр \(a\), мы используем следующий факт: вероятность того, что случайная величина \(z\) будет больше заданного значения, равна вероятности того, что стандартная нормальная случайная величина \(Z\) будет больше стандартизованного значения этой величины.

Теперь, давайте воспользуемся этими знаниями для решения задачи.

1. Найдем стандартное отклонение стандартной нормальной случайной величины:
\(\sigma = 1\)

2. Стандартизуем заданное значение случайной величины:
\[Z = \frac{3 - a}{1} = 3 - a\]

3. Теперь мы должны найти вероятность того, что стандартная нормальная случайная величина \(Z\) будет больше стандартизованного значения \(3 - a\). Эту вероятность обозначим как \(P(Z > 3 - a)\).

Из условия задачи дано, что \(P(Z > 3) = 0.5\). По таблицам нормального распределения (или с использованием компьютерных программ), мы можем найти значение функции распределения для \(Z = 3\). Оно равно 0.5.

Теперь, чтобы найти параметр \(a\), мы можем записать следующее уравнение:
\[P(Z > 3 - a) = 0.5\]

Так как нормальное распределение симметрично, мы можем записать уравнение в виде:
\[P(Z < a - 3) = 0.5\]

Мы хотим найти значение \(a\), при котором \(P(Z < a - 3) = 0.5\). Из таблиц нормального распределения или с использованием компьютерных программ, мы находим, что значение \(a - 3\) равно приблизительно 0.675.

Теперь, найдем параметр \(a\):
\[a - 3 = 0.675\]
\[a = 3 + 0.675 = 3.675\]

Таким образом, параметр \(a\) в нормальном законе распределения случайной величины \(z\) с известным параметром \(\sigma = \frac{7}{5}\) и вероятностью \(P(z > 3) = 0.5\) равен 3.675.

Теперь, чтобы найти вероятность, что значение случайной величины \(z\) будет больше данного значения, мы можем использовать функцию распределения стандартной нормальной случайной величины \(\Phi(x)\). Значение этой функции для стандартизованного значения \(Z = 3 - a\) будет вероятностью \(P(Z > 3 - a)\).