What is the solution to the inequality: -13/(x-4)^2-6⩾0?

Хорошо, давайте решим данное неравенство.

Исходное неравенство: \(-\frac{13}{{(x-4)}^2}-6⩾0\)

Для начала приведем эту неравенство к более удобному виду. Умножим обе стороны неравенства на \(-(x-4)^2\) (отрицательное число). Обратите внимание, что при умножении неравенства на отрицательное число, направление знака неравенства меняется.

\(-\frac{13}{{(x-4)}^2} \cdot -(x-4)^2 - 6 \cdot -(x-4)^2 ⩽ 0 \)

\(\frac{13}{1} + 6(x-4)^2 ⩽ 0 \)

\(\frac{13}{1} + 6(x^2 - 8x + 16) ⩽ 0 \)

\(\frac{13}{1} + 6x^2 - 48x + 96 ⩽ 0 \)

\(6x^2 - 48x + 109 ⩽ 0 \)

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения, чтобы найти интервалы, которые удовлетворяют неравенству. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта.

Дискриминант \(D\) для данного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) находится по формуле \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем случае \(a = 6\), \(b = -48\), \(c = 109\), поэтому дискриминант \(D = (-48)^2 - 4(6)(109) = 2304 - 2616 = -312\).

Так как дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексных корня.

Теперь, давайте посмотрим на знаки коэффициентов перед \(x^2\) и \(x\) и определим выпуклость кверху или к низу у этого параболического графика.

У нас \(a = 6\), что положительно, поэтому парабола направлена вверх.

Зная, что парабола направлена вверх и что у нее два комплексных корня, мы можем заключить, что уравнение \(6x^2 - 48x + 109 = 0\) не имеет действительных корней.

Исходя из этого, мы можем заключить, что вся область \(x\) удовлетворяет неравенству.

Таким образом, решением данного неравенства является интервал \(-\infty < x < +\infty\).