Можно показать более подробно, как решить задачу? На интервале (0,1) случайным образом выбираются три точки: x

Конечно! Для решения этой задачи, давайте разберемся сначала с понятием скалярного произведения векторов. Скалярное произведение двух векторов определяется следующим образом:

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta
\]

где \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) - векторы, \(\theta\) - угол между векторами, \(|\mathbf{a}|\) и \(|\mathbf{b}|\) - их модули.

На данном случайном интервале (0,1) выбираются три точки \(x\), \(y\) и \(z\). Давайте зададимся вопросом, какие значения могут принимать эти точки? Так как интервал (0,1), то \(x\), \(y\) и \(z\) могут принимать значения от 0 до 1.

Теперь мы можем найти скалярное произведение вектора \(\mathbf{a}\) на вектор \(\mathbf{b}\) с использованием выбранных случайным образом значений точек \(x\), \(y\) и \(z\):

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (x,y,z) \cdot (2,1,1) = 2x + y + z
\]

Теперь ответим на вопрос задачи:

a) Чтобы скалярное произведение было меньше единицы, необходимо, чтобы \(2x + y + z < 1\). Это неравенство задает границу для области значений точек \(x\), \(y\) и \(z\), при которых условие будет выполняться. Чтобы найти вероятность, будем считать, что точки \(x\), \(y\) и \(z\) равномерно распределены на интервале (0,1).

Поскольку область, в которой выполняется неравенство, представляет собой пирамиду в трехмерном пространстве, ограниченную плоскостью \(2x + y + z = 1\), мы можем вычислить объем этой пирамиды и разделить его на общий объем интервала (0,1), чтобы найти искомую вероятность. Объем пирамиды можно вычислить по формуле:

\[
V = \frac{1}{6} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}
\]

где основание пирамиды - площадь плоскости \(2x + y + z = 1\) и высота пирамиды - равна 1.

Перепишем уравнение плоскости в виде \(z = 1 - 2x - y\). Значения \(x\) и \(y\) ограничены интервалом (0,1), поэтому подставим эти границы в уравнение плоскости, чтобы найти границы для \(z\):

\[
0 \leq 1 - 2x - y \leq 1
\]

Откуда получим:

\[
-1 \leq -2x - y \leq 0
\]

Таким образом, область, в которой выполняется условие \(2x + y + z < 1\), представляет собой пирамиду со сторонами длиной равной 1 и высотой равной 1, обрезанную в верхней части плоскостью \(2x + y + z = 1\). Объем пирамиды можно найти, используя формулу:

\[
V = \frac{1}{6} \cdot \text{площадь основания} \cdot \text{высота}
\]

Площадь основания равна площади треугольника со сторонами длиной 1,1,1:

\[
\text{площадь основания} = \frac{\sqrt{3}}{4}
\]

Таким образом, получаем:

\[
V = \frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{24}
\]

Общий объем интервала (0,1) равен 1, поэтому можно вычислить вероятность, поделив объем пирамиды на общий объем:

\[
\text{Вероятность} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{24}}{1} = \frac{\sqrt{3}}{24}
\]

Ответ: Вероятность того, что скалярное произведение будет меньше единицы равна \(\frac{\sqrt{3}}{24}\).

b) Для ответа на этот вопрос поступим аналогично. Неравенство \(2x + y + z < 2\) задает область значений точек \(x\), \(y\) и \(z\), при которых скалярное произведение будет меньше двух. Мы можем найти объем этой области и разделить его на общий объем интервала (0,1), чтобы найти вероятность.

Аналогично предыдущему пункту, \(2x + y + z = 2\) задает плоскость, ограничивающую область. Оним найти границы для переменной \(z\) объединив это уравнение с границами для переменных \(x\) и \(y\):

\[
-1 \leq -2x - y \leq 1
\]

В этом случае область, ограниченная предыдущей плоскостью и плоскостью \(2x + y + z = 2\), представляет собой пирамиду с высотой равной 1 и площадью основания:

\[
\text{площадь основания} = \frac{\text{площадь треугольника со сторонми длиной 1,1,1}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}
\]

Теперь мы можем найти объем этой пирамиды:

\[
V = \frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{48}
\]

Таким образом, вероятность того, что скалярное произведение будет меньше двух, равна:

\[
\text{Вероятность} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{48}}{1} = \frac{\sqrt{3}}{48}
\]

Ответ: Вероятность того, что скалярное произведение будет меньше двух равна \(\frac{\sqrt{3}}{48}\).

Я надеюсь, что данное объяснение было подробным и понятным для вас! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!