1. Среди 10 лампочек 3 из них являются бракованными. Если наудачу выбрать 3 лампочки, какова вероятность того

Первым делом рассмотрим задачу с лампочками.

1.а) Нам нужно выбрать 3 лампочки, и вероятность того, что ровно 2 из них будут бракованными, можно посчитать следующим образом:

Количество комбинаций выбрать 2 бракованные лампочки из 3-х: \(C_2^3 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3\).
Количество комбинаций выбрать 1 исправную лампочку из 7-ми (так как всего лампочек 10, а 3 из них бракованные): \(C_1^7 = \frac{7!}{1!(7-1)!} = 7\).
Общее количество комбинаций выбрать 3 лампочки из 10: \(C_3^{10} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = 120\).

Таким образом, вероятность того, что среди выбранных лампочек ровно 2 будут бракованными, равна \(\frac{3 \cdot 7}{120} = \frac{21}{120} = \frac{7}{40}\).

1.б) Вероятность того, что выбрано будет по крайней мере две неразбитые лампочки, можно посчитать как вероятность события "выбрано 3 неразбитых лампочки" или "выбрано 2 неразбитые лампочки и 1 бракованная лампочка". Рассчитаем вероятность каждого из этих событий и сложим их.

- Вероятность выбрать 3 неразбитые лампочки:
\(\frac{C_3^7}{C_3^{10}} = \frac{\frac{7!}{3!(7-3)!}}{\frac{10!}{3!(10-3)!}} = \frac{35}{120} = \frac{7}{24}\).

- Вероятность выбрать 2 неразбитые лампочки и 1 бракованную лампочку:
\(\frac{C_2^7 \cdot C_1^3}{C_3^{10}} = \frac{\frac{7!}{2!(7-2)!} \cdot \frac{3!}{1!(3-1)!}}{\frac{10!}{3!(10-3)!}} = \frac{63}{120} = \frac{21}{40}\).

Сложим эти вероятности: \(\frac{7}{24} + \frac{21}{40} = \frac{5}{8}\).

Таким образом, вероятность выбрать по крайней мере две неразбитые лампочки равна \(\frac{5}{8}\).

1.в) Вероятность того, что выбрана будет только одна неразбитая лампочка, можно найти, рассчитав вероятность выбрать 1 неразбитую лампочку и 2 бракованные лампочки.

- Вероятность выбрать 1 неразбитую лампочку:
\(\frac{C_1^7}{C_3^{10}} = \frac{\frac{7!}{1!(7-1)!}}{\frac{10!}{3!(10-3)!}} = \frac{7}{120}\).

- Вероятность выбрать 2 бракованные лампочки:
\(\frac{C_2^3}{C_3^{10}} = \frac{\frac{3!}{2!(3-2)!}}{\frac{10!}{3!(10-3)!}} = \frac{3}{120} = \frac{1}{40}\).

Умножим эти вероятности: \(\frac{7}{120} \cdot \frac{1}{40} = \frac{1}{171}\).

Таким образом, вероятность выбрать только одну неразбитую лампочку равна \(\frac{1}{171}\).

Теперь перейдем к задаче о поступлении товара от разных фабрик.

2. Вероятность того, что наудачу выбранный товар будет стандартным, можно найти, рассчитав суммарную вероятность стандартного товара от каждой фабрики.

- Вероятность выбрать стандартный товар из первой фабрики: 0.99 (так как брак составляет 1%).
- Вероятность выбрать стандартный товар из второй фабрики: 0.97 (так как брак составляет 3%).
- Вероятность выбрать стандартный товар из третьей фабрики: 0.98 (так как брак составляет 2%).

Теперь можно рассчитать суммарную вероятность стандартного товара:

\(0.25 \cdot 0.99 + 0.35 \cdot 0.97 + 0.4 \cdot 0.98 = 0.2475 + 0.3395 + 0.392 = 0.979\).

Таким образом, вероятность наудачу выбрать стандартный товар равна 0.979.

Найдем вероятность того, что стандартный товар был изготовлен:

Для этого нужно найти вероятность выбрать товар из каждой из трех фабрик и умножить эту вероятность на вероятность, что товар стандартный, для соответствующей фабрики, а затем разделить на общую вероятность выбрать стандартный товар:

Вероятность выбрать товар из первой фабрики: 0.25.
Вероятность выбрать стандартный товар из первой фабрики: 0.99.
Вероятность, что стандартный товар был изготовлен на первой фабрике: \(\frac{0.25 \cdot 0.99}{0.979}\).

Аналогично рассчитаем вероятность для второй и третьей фабрик:

Вероятность выбрать товар из второй фабрики: 0.35.
Вероятность выбрать стандартный товар из второй фабрики: 0.97.
Вероятность, что стандартный товар был изготовлен на второй фабрике: \(\frac{0.35 \cdot 0.97}{0.979}\).

Вероятность выбрать товар из третьей фабрики: 0.4.
Вероятность выбрать стандартный товар из третьей фабрики: 0.98.
Вероятность, что стандартный товар был изготовлен на третьей фабрике: \(\frac{0.4 \cdot 0.98}{0.979}\).

Теперь сложим эти вероятности и получим итоговый ответ:

\(\frac{0.25 \cdot 0.99}{0.979} + \frac{0.35 \cdot 0.97}{0.979} + \frac{0.4 \cdot 0.98}{0.979} = 0.24872 + 0.34764 + 0.40364 = 0.999\).

Таким образом, вероятность того, что стандартный товар был изготовлен наудачу выбранной фабрикой, равна 0.999.