Можно ли утверждать, что если последовательность (nx_n) сходится, то и последовательность (x_n) сходится?

Aleksandr
Да, можно утверждать, что если последовательность сходится, то и последовательность сходится. Давайте разберемся, почему это так.
Чтобы показать это утверждение, давайте предположим, что сходится к некоторому пределу . Это означает, что для любого положительного числа существует такое натуральное число , что для всех выполняется условие .
Теперь обратимся к последовательности . Мы знаем, что сходится к , поэтому разделим обе стороны неравенства на (поскольку положительное), получим .
Заметим, что . Поэтому неравенство можно переписать так: .
Теперь давайте рассмотрим последовательность . Она сходится к нулю, так как может быть сделано сколь угодно маленьким, выбрав достаточно большое значение .
Теперь воспользуемся свойством сравнения. Если для двух последовательностей выполнено условие и последовательность сходится к нулю (в нашем случае это ), то и последовательность сходится к пределу, близкому к .
Таким образом, в нашем случае, мы видим, что похоже на условие , где , и . Последовательность сходится к нулю, поэтому по свойству сравнения последовательность сходится к некоторому пределу , близкому к нулю.
Таким образом, мы доказали, что если последовательность сходится, то и последовательность сходится.
Чтобы показать это утверждение, давайте предположим, что
Теперь обратимся к последовательности
Заметим, что
Теперь давайте рассмотрим последовательность
Теперь воспользуемся свойством сравнения. Если для двух последовательностей выполнено условие
Таким образом, в нашем случае, мы видим, что
Таким образом, мы доказали, что если последовательность
Знаешь ответ?