Можно ли утверждать, что если последовательность (nx_n) сходится, то и последовательность (x_n) сходится?

Можно ли утверждать, что если последовательность (nx_n) сходится, то и последовательность (x_n) сходится?
ИИ помощник ИИ помощник в учёбе
Aleksandr

Aleksandr

Да, можно утверждать, что если последовательность (nxn) сходится, то и последовательность (xn) сходится. Давайте разберемся, почему это так.

Чтобы показать это утверждение, давайте предположим, что (nxn) сходится к некоторому пределу L. Это означает, что для любого положительного числа ε существует такое натуральное число N, что для всех n>N выполняется условие |nxnL|<ε.

Теперь обратимся к последовательности (xn). Мы знаем, что nxn сходится к L, поэтому разделим обе стороны неравенства |nxnL|<ε на n (поскольку n положительное), получим |nxnLn|<εn.

Заметим, что nxnLn=xnLn. Поэтому неравенство можно переписать так: |xnLn|<εn.

Теперь давайте рассмотрим последовательность (1n). Она сходится к нулю, так как εn может быть сделано сколь угодно маленьким, выбрав достаточно большое значение n.

Теперь воспользуемся свойством сравнения. Если для двух последовательностей выполнено условие |xnan|<bn и последовательность bn сходится к нулю (в нашем случае это εn), то и последовательность an сходится к пределу, близкому к a.

Таким образом, в нашем случае, мы видим, что |xnLn|<εn похоже на условие |ana|<bn, где an=xn, a=0 и bn=εn. Последовательность bn сходится к нулю, поэтому по свойству сравнения последовательность xn сходится к некоторому пределу a, близкому к нулю.

Таким образом, мы доказали, что если последовательность (nxn) сходится, то и последовательность (xn) сходится.
Знаешь ответ?
Задать вопрос
Привет!
hello