Можно ли утверждать, что если последовательность (nx_n) сходится, то и последовательность (x_n) сходится?

Да, можно утверждать, что если последовательность \((nx_n)\) сходится, то и последовательность \((x_n)\) сходится. Давайте разберемся, почему это так.

Чтобы показать это утверждение, давайте предположим, что \((nx_n)\) сходится к некоторому пределу \(L\). Это означает, что для любого положительного числа \(\varepsilon\) существует такое натуральное число \(N\), что для всех \(n > N\) выполняется условие \(|nx_n - L| < \varepsilon\).

Теперь обратимся к последовательности \((x_n)\). Мы знаем, что \(nx_n\) сходится к \(L\), поэтому разделим обе стороны неравенства \(|nx_n - L| < \varepsilon\) на \(n\) (поскольку \(n\) положительное), получим \(\left|\frac{{nx_n - L}}{n}\right| < \frac{\varepsilon}{n}\).

Заметим, что \(\frac{{nx_n - L}}{n} = x_n - \frac{L}{n}\). Поэтому неравенство можно переписать так: \(|x_n - \frac{L}{n}| < \frac{\varepsilon}{n}\).

Теперь давайте рассмотрим последовательность \((\frac{1}{n})\). Она сходится к нулю, так как \(\frac{\varepsilon}{n}\) может быть сделано сколь угодно маленьким, выбрав достаточно большое значение \(n\).

Теперь воспользуемся свойством сравнения. Если для двух последовательностей выполнено условие \(|x_n - a_n| < b_n\) и последовательность \(b_n\) сходится к нулю (в нашем случае это \(\frac{\varepsilon}{n}\)), то и последовательность \(a_n\) сходится к пределу, близкому к \(a\).

Таким образом, в нашем случае, мы видим, что \(|x_n - \frac{L}{n}| < \frac{\varepsilon}{n}\) похоже на условие \(|a_n - a| < b_n\), где \(a_n = x_n\), \(a = 0\) и \(b_n = \frac{\varepsilon}{n}\). Последовательность \(b_n\) сходится к нулю, поэтому по свойству сравнения последовательность \(x_n\) сходится к некоторому пределу \(a\), близкому к нулю.

Таким образом, мы доказали, что если последовательность \((nx_n)\) сходится, то и последовательность \((x_n)\) сходится.