Можно ли сказать, что функция f(x) = 2x³ - 3x² + 6x + 1 возрастает на всех значениях x на числовой прямой?

Да, можно определить, является ли функция f(x) = 2x³ - 3x² + 6x + 1 возрастающей на всей числовой прямой, с помощью анализа ее производной.

Для начала, на числовой прямой нужно определить, где находятся точки, где производная функции равна нулю или не существует. В таких точках функция может менять свое поведение и либо переходить из возрастания в убывание, либо наоборот.

Для определения производной функции f(x), нужно воспользоваться правилом дифференцирования для многочленов. Производная многочлена равна сумме производных его слагаемых. Таким образом, для данной функции f(x) = 2x³ - 3x² + 6x + 1, найдем ее производную.

Найдем производную каждого слагаемого:

\[
\begin{align*}
f"(x) &= (2x^3)" - (3x^2)" + (6x)" + (1)" \\
&= 6x^2 - 6x + 6.
\end{align*}
\]

Теперь найдем точки, где производная f"(x) равна нулю или не существует. Для этого приравняем f"(x) к нулю и решим полученное уравнение:

\[
6x^2 - 6x + 6 = 0.
\]

Мы можем решить это уравнение, используя квадратное уравнение или вынести общий множитель:

\[
6(x^2 - x + 1) = 0.
\]

Это квадратное уравнение не имеет решений, так как дискриминант равен отрицательному числу. Значит, уравнение f"(x) = 0 не имеет решений. Это означает, что у функции f(x) = 2x³ - 3x² + 6x + 1 нет точек, где она меняет своё поведение с возрастания на убывание или наоборот.

Теперь рассмотрим случай, когда производная f"(x) не существует. В таком случае, нам нужно проверить, существуют ли разрывы в функции f(x). Но данная функция является многочленом, и многочлены определены и непрерывны на всей числовой прямой. Значит, разрывов в функции f(x) нет.

С учетом этого анализа, мы можем заключить, что функция f(x) = 2x³ - 3x² + 6x + 1 возрастает на всей числовой прямой.