Можно ли добиться, чтобы все числа на доске стали равны 1000, если профессор стирает каждую минуту три соседних числа

Да, можно добиться того, чтобы все числа на доске стали равны 1000. Рассмотрим следующую стратегию:

1. Пусть исходно на доске есть три числа: a, b и c (где a, b и c могут быть различными числами).
2. Рассмотрим разность между соседними числами: \(\Delta_1 = b - a\) и \(\Delta_2 = c - b\).
3. Если \(\Delta_1 > \Delta_2\), то мы можем заменить a, b и c следующим образом: \(a \rightarrow a\), \(b \rightarrow a + 1\) и \(c \rightarrow a + 1 + 1\) (т.е. мы увеличиваем первое число).
4. Если \(\Delta_1 < \Delta_2\), то мы можем заменить a, b и c следующим образом: \(a \rightarrow c - 1 - 1\), \(b \rightarrow c - 1\) и \(c \rightarrow c\) (т.е. мы увеличиваем третье число).
5. Если \(\Delta_1 = \Delta_2\), то мы можем заменить a, b и c следующим образом: \(a \rightarrow a + 1\), \(b \rightarrow a + 1\) и \(c \rightarrow a + 1\) (т.е. мы увеличиваем все числа одновременно).

Продолжая это действие для каждых трех соседних чисел на доске, мы можем постепенно увеличивать числа и равнять их на 1000. Каждая минута профессор будет заменять три соседних числа, и каждый проход будет приближать эти числа к 1000. Причем, поскольку мы рассматривали все возможные случаи разниц между числами, мы в итоге достигнем значения 1000 для каждого числа на доске.

Пример:
Пусть исходно на доске числа равны 10, 20 и 30.
Шаг 1: \(10, 20, 30 \rightarrow 10, 11, 30\)
Шаг 2: \(10, 11, 30 \rightarrow 10, 11, 12\)
Шаг 3: \(10, 11, 12 \rightarrow 11, 11, 12\)
Шаг 4: \(11, 11, 12 \rightarrow 11, 12, 12\)
Шаг 5: \(11, 12, 12 \rightarrow 12, 12, 12\)

И так далее. Мы постепенно увеличиваем числа до 1000, заменяя каждую минуту три соседних числа.

Таким образом, при выполнении данной стратегии мы можем добиться того, чтобы все числа на доске стали равными 1000.